1. 本題要求函數 $f(x) = \ln(1+x)\cdot\tan^{-1}x$ 在 $x=0$ 處的五階導數 $f^{(5)}(0)$。
2. 直接對乘積函數連續求導五次非常繁瑣且極易出錯。
3. 我們可以使用麥克勞林級數 (Maclaurin Series) 的性質： $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$ 因此， $x^5$ 項的係數為 $c_5 = \frac{f^{(5)}(0)}{5!} \implies f^{(5)}(0) = 120 \cdot c_5$。
4. 第一步：列出子函數的麥克勞林展開式：
   • $\ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{5}x^5 - \cdots$
   • $\tan^{-1}x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \cdots$
5. 第二步：尋找乘積後 $x^5$ 的係數 $c_5$： 我們只需挑選兩級數相乘時次方相加等於 5 的項：
   • $\ln(1+x)$ 的 $x^2$ 項與 $\tan^{-1}x$ 的 $x^3$ 項： $\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6}$。
   • $\ln(1+x)$ 的 $x^4$ 項與 $\tan^{-1}x$ 的 $x^1$ 項： $\left(-\frac{1}{4}\right) \cdot (1) = -\frac{1}{4}$。
   • 其餘組合相乘次方不為 5。
6. 將這些係數相加求得 $c_5$，進而求得 $f^{(5)}(0)$。

根據麥克勞林級數的定義，若 $f(x)$ 能展開為冪級數 $\sum c_n x^n$，則其 $x^5$ 項的係數為：

我們寫出兩個子函數在 $x=0$ 附近的麥克勞林級數展開式：

將兩個級數相乘：

我們只提取乘積後次方為 $5$ 的項。這些項只能由以下兩項相乘產生：

1. $\ln(1+x)$ 中的 $-\frac{1}{2}x^2$ 與 $\tan^{-1}x$ 中的 $-\frac{1}{3}x^3$ 相乘： $$\left( - \frac{1}{2}x^2 \right) \left( - \frac{1}{3}x^3 \right) = \frac{1}{6}x^5$$
2. $\ln(1+x)$ 中的 $-\frac{1}{4}x^4$ 與 $\tan^{-1}x$ 中的 $x$ 相乘： $$\left( - \frac{1}{4}x^4 \right) (x) = - \frac{1}{4}x^5$$

因此，乘積後 $x^5$ 的總係數 $c_5$ 為：

最後，計算五階導數的值：