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112 台綜大微積分(C) 第 4 題

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112學年度 · 112微積分C · 第 4 題

題目

Problem

4. Find the arc length of the cycloid (10%)

C:{x=r(θ−sin⁡θ)y=r(1−cos⁡θ) ,0≤θ≤π2 .C: \begin{cases} x = r(\theta - \sin\theta) \\ y = r(1 - \cos\theta) \end{cases} \,, \quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \,.

解答

解法一

思路

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  1. 本題要求計算擺線（Cycloid）在參數範圍 0≤θ≤π/20 \le \theta \le \pi/2 內的弧長。
  2. 參數式曲線的弧長公式為： L=∫αβ(dxdθ)2+(dydθ)2 dθL = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}\right)^2} \,\mathrm{d}\theta
  3. 第一步：分別對參數 θ\theta 求導：
    • dxdθ=r(1−cos⁡θ)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta} = r(1-\cos\theta)
    • dydθ=rsin⁡θ\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta} = r\sin\theta
  4. 第二步：簡化根式項： 將兩導數平方和相加，並利用半角公式 1−cos⁡θ=2sin⁡2(θ/2)1-\cos\theta = 2\sin^2(\theta/2) 進行化簡消去根號。
  5. 第三步：進行積分： 代入積分公式求解。

答題過程

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參數曲線的弧長公式為：

L=∫0π/2(dxdθ)2+(dydθ)2 dθL = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}\right)^2} \,\mathrm{d}\theta

首先，我們計算 xx 與 yy 對 θ\theta 的導數：

dxdθ= r(1−cos⁡θ)dydθ= rsin⁡θ\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta} =&\, r(1 - \cos\theta) \\[2mm] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta} =&\, r\sin\theta \end{align*}

計算根號內的被積表達式：

(dxdθ)2+(dydθ)2= r2(1−cos⁡θ)2+r2sin⁡2θ= r2(1−2cos⁡θ+cos⁡2θ+sin⁡2θ)= r2(2−2cos⁡θ)= 2r2(1−cos⁡θ)\begin{align*} \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 =&\, r^2(1 - \cos\theta)^2 + r^2\sin^2\theta \\[2mm] =&\, r^2 \left( 1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta \right) \\[2mm] =&\, r^2 \left( 2 - 2\cos\theta \right) \\[2mm] =&\, 2r^2 (1 - \cos\theta) \end{align*}

利用三角函數半角公式 1−cos⁡θ=2sin⁡2(θ2)1 - \cos\theta = 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)：

2r2(1−cos⁡θ)=4r2sin⁡2(θ2)2r^2 (1 - \cos\theta) = 4r^2 \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)

因此，弧長微元為：

ds=4r2sin⁡2(θ2) dθ=2rsin⁡(θ2) dθ\mathrm{d}s = \sqrt{4r^2 \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}\,\mathrm{d}\theta = 2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\mathrm{d}\theta

（在 0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2} 範圍內， 0≤θ2≤π40 \le \frac{\theta}{2} \le \frac{\pi}{4}，故 sin⁡(θ/2)≥0\sin(\theta/2) \ge 0）

將其代入弧長積分式中（假設 r>0r > 0）：

L= ∫0π22rsin⁡(θ2) dθ= 2r[−2cos⁡(θ2)]0π2= −4r(cos⁡(π4)−cos⁡(0))= −4r(22−1)= 4r(1−22)=r(4−22) .\begin{align*} L =&\, \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, 2r \left[ -2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\[4mm] =&\, -4r \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos(0) \right) \\[4mm] =&\, -4r \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \right) \\[4mm] =&\, 4r \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = r(4 - 2\sqrt{2}) \,. \end{align*}