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112 台綜大微積分(C) 第 3 題

考題 / 轉學考微積分 / 台綜大 / 微積分C

112學年度 · 112微積分C · 第 3 題

題目

Problem

3. Evaluate. (10%)

∫011x2+2 dx .\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 2} \,\mathrm{d}x \,.

解答

解法一

思路

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  1. 本題要求計算定積分 ∫011x2+2 dx\int_0^1 \frac{1}{x^2+2}\,\mathrm{d}x。
  2. 這是一個標準的反正切函數求導逆運算。我們知道公式： ∫1x2+a2 dx=1atan⁡−1(xa)+C\int \frac{1}{x^2 + a^2} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C
  3. 在本題中， a2=2  ⟹  a=2a^2 = 2 \implies a = \sqrt{2}。
  4. 代入公式並代入上下限 00 與 11 求解。

答題過程

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利用反三角函數不定積分公式：

∫1x2+a2 dx=1atan⁡−1(xa)+C\int \frac{1}{x^2 + a^2} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C

本題中令 a=2a = \sqrt{2}。求其定積分：

∫011x2+2 dx= [12tan⁡−1(x2)]01= 12(tan⁡−1(12)−tan⁡−1(0))= 12tan⁡−1(12)= 22tan⁡−1(22) .\begin{align*} \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 2} \,\mathrm{d}x =&\, \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) \right]_0^1 \\[4mm] =&\, \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \tan^{-1}(0) \right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\[4mm] =&\, \frac{\sqrt{2}}{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \,. \end{align*}