1. 本題要求計算定積分 $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos x \,\mathrm{d}x$。
2. 觀察被積函數， $\cos x$ 正好是 $\sin x$ 的導數。這提示我們直接使用換元積分法 (Substitution Method)。
3. 令 $u = \sin x \implies \mathrm{d}u = \cos x\,\mathrm{d}x$。
4. 變更積分上下限：
   • 當 $x = 0 \implies u = 0$。
   • 當 $x = \pi/2 \implies u = 1$。
5. 這可以將複雜的三角函數積分簡化成極為簡單的冪函數積分。

我們採用換元積分法。令：

變更積分界限：

• 當 $x = 0$ 時， $u = \sin 0 = 0$。
• 當 $x = \frac{\pi}{2}$ 時， $u = \sin\frac{\pi}{2} = 1$。

代入積分式中：

1. 也可以利用三角恆等式 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 將積分展開： $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos x \,\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2} \cos x \,\mathrm{d}x - \int_0^{\pi/2} \cos^3 x \,\mathrm{d}x$
2. 接著對第二項套用著名的 Wallis 公式 計算 $\cos$ 奇數次方在 $[0, \pi/2]$ 上的積分。

利用三角恆等式展開被積函數：

第一項為：

第二項根據 Wallis 公式：

兩者相減：