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112 台綜大微積分(C) 第 10 題

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112學年度 · 112微積分C · 第 10 題

題目

Problem

10. Evaluate ∬SF⋅dS\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}, where

F(x,y,z)=xyi+(y2+exz)j+cos⁡(xy)k\mathbf{F}(x, y, z) = xy\mathbf{i} + (y^2 + e^{xz})\mathbf{j} + \cos(xy)\mathbf{k}

and SS is the surface of the region EE bounded by the parabolic cylinder z=1−x2z = 1 - x^2 and the planes z=0,y=0,y+z=2z = 0, y = 0, y + z = 2. (10%)

解答

解法一（推薦：正確的散度定理投影法）

思路

展開
  1. 本題要求向量場 F\mathbf{F} 在封閉曲面 SS 上的面積分。
  2. 由於 SS 是立體區域 EE 的完整邊界曲面，我們直接套用散度定理 (Divergence Theorem)。
  3. 第一步：求散度 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}： ∇⋅F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z=y+2y+0=3y\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = y + 2y + 0 = 3y
  4. 第二步：描述立體區域 EE 的積分範圍：
    • 邊界為 z=0,y=0,z=1−x2,y+z=2z=0, y=0, z = 1-x^2, y+z=2。
    • 將區域 EE 投影至 xzxz 平面：因為 z≥0z \ge 0 且 z≤1−x2z \le 1-x^2，因此投影區域 DxzD_{xz} 為拋物線與 xx 軸圍成的區域： −1≤x≤1,0≤z≤1−x2-1 \le x \le 1, \quad 0 \le z \le 1-x^2
    • 對於投影面上的任一點 (x,z)(x,z)，沿 yy 軸方向， yy 的邊界從 y=0y=0 延伸至平面 y+z=2  ⟹  y=2−zy+z=2 \implies y = 2-z。
    • 故立體區域 EE 描述為： x∈[−1,1],z∈[0,1−x2],y∈[0,2−z]x \in [-1, 1], z \in [0, 1-x^2], y \in [0, 2-z]。
  5. 第三步：進行累次積分： 我們先對 yy 進行積分，再對 zz 積分，最後對 xx 積分。

答題過程

展開

由於 SS 為封閉立體區域 EE 的完整邊界曲面，根據散度定理：

∬SF⋅dS=∭E∇⋅F dV\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_E \nabla \cdot \mathbf{F} \,\mathrm{d}V

首先，計算向量場 F\mathbf{F} 的散度：

∇⋅F=∂∂x(xy)+∂∂y(y2+exz)+∂∂z(cos⁡(xy))=y+2y+0=3y\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(xy) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2 + e^{xz}) + \frac{\partial}{\partial z}(\cos(xy)) = y + 2y + 0 = 3y

我們分析立體區域 EE 的邊界：

  • 底部： z=0z = 0
  • 左側： y=0y = 0
  • 後側： 拋物柱面 z=1−x2z = 1 - x^2
  • 斜切面： y+z=2  ⟹  y=2−zy + z = 2 \implies y = 2 - z

我們將 EE 投影到 xzxz 平面。因為 z≥0z \ge 0 且 z≤1−x2z \le 1 - x^2，故 xzxz 平面上的投影區域 DxzD_{xz} 為：

Dxz={(x,z)∣−1≤x≤1, 0≤z≤1−x2}D_{xz} = \{ (x, z) \mid -1 \le x \le 1, \ 0 \le z \le 1 - x^2 \}

對於 DxzD_{xz} 中的每一個點 (x,z)(x, z)， yy 從 y=0y = 0 到 y=2−zy = 2 - z 變化。 因此，體積分可寫為累次積分形式：

∭E3y dV=∬Dxz(∫02−z3y dy)dA\iiint_E 3y \,\mathrm{d}V = \iint_{D_{xz}} \left( \int_0^{2-z} 3y \,\mathrm{d}y \right) \mathrm{d}A

先對內層的 yy 進行積分：

∫02−z3y dy=[32y2]02−z=32(2−z)2\int_0^{2-z} 3y \,\mathrm{d}y = \left[ \frac{3}{2} y^2 \right]_0^{2-z} = \frac{3}{2} (2 - z)^2

代回二重積分，對 zz 與 xx 進行累次積分：

I=∫−11∫01−x232(2−z)2 dzdxI = \int_{-1}^1 \int_0^{1-x^2} \frac{3}{2} (2 - z)^2 \,\mathrm{d}z\mathrm{d}x

先對 zz 積分（令 u=2−z  ⟹  du=−dzu = 2-z \implies \mathrm{d}u = -\mathrm{d}z）：

∫01−x232(2−z)2 dz= [−12(2−z)3]01−x2= −12(2−(1−x2))3−(−12(2)3)= 4−12(1+x2)3\begin{align*} \int_0^{1-x^2} \frac{3}{2} (2 - z)^2 \,\mathrm{d}z =&\, \left[ -\frac{1}{2} (2 - z)^3 \right]_0^{1-x^2} \\[4mm] =&\, -\frac{1}{2} \left( 2 - (1 - x^2) \right)^3 - \left( -\frac{1}{2} (2)^3 \right) \\[4mm] =&\, 4 - \frac{1}{2} (1 + x^2)^3 \end{align*}

接下來對 xx 進行積分。由於被積函數為偶函數，我們可以使用對稱性：

I= ∫−11(4−12(1+x2)3)dx= 2∫01(4−12(1+3x2+3x4+x6))dx= 2∫01(72−32x2−32x4−12x6)dx= 2[72x−12x3−310x5−114x7]01= 2(72−12−310−114)= 2(3−310−114)= 2(2710−114)= 2(189−570)=2(18470)=18435 .\begin{align*} I =&\, \int_{-1}^1 \left( 4 - \frac{1}{2} (1 + x^2)^3 \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, 2 \int_0^1 \left( 4 - \frac{1}{2} (1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6) \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, 2 \int_0^1 \left( \frac{7}{2} - \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^6 \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, 2 \left[ \frac{7}{2}x - \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{10}x^5 - \frac{1}{14}x^7 \right]_0^1 \\[4mm] =&\, 2 \left( \frac{7}{2} - \frac{1}{2} - \frac{3}{10} - \frac{1}{14} \right) \\[4mm] =&\, 2 \left( 3 - \frac{3}{10} - \frac{1}{14} \right) \\[4mm] =&\, 2 \left( \frac{27}{10} - \frac{1}{14} \right) \\[4mm] =&\, 2 \left( \frac{189 - 5}{70} \right) = 2 \left( \frac{184}{70} \right) = \frac{184}{35} \,. \end{align*}

因此，面積分的正確數值為：

18435≈5.257 .\frac{184}{35} \approx 5.257 \,.