題目

Problem

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \,.

解答

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我們將分母利用平方差公式進行因式分解：

x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)

將其代回原極限式：

\begin{align*} \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} =&\, \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \\[4mm] =&\, \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2} \,. \end{align*}

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因為本極限是 $\frac{0}{0}$ 不定式，我們也可以直接套用羅必達法則 (L’Hôpital’s Rule)，對分子與分母分別求導。

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原極限為 $\frac{0}{0}$ 不定式，由羅必達法則：

\begin{align*} \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \overset{L}{=}&\, \lim_{x \to 1} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sqrt{x} - 1)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x - 1)} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1} \\[4mm] =&\, \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} \,. \end{align*}