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112 台綜大微積分(B) 第 9 題

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112學年度 · 112微積分B · 第 9 題

題目

Problem

9. Let f(x,y,z)=x2zey+xz2f(x, y, z) = x^2 z e^y + x z^2. In what direction does ff increase most rapidly at the point (1,ln⁡2,2)(1, \ln 2, 2)? What is the maximum rate of increase? (10%)

解答

解法一

思路

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  1. 根據多變數函數的性質，函數在某點處增加最快的方向為該點處的梯度向量 ∇f\nabla f 方向（若要求單位方向向量，需將其單位化）。
  2. 函數在該點處的最大增加率為梯度向量的模長 ∣∇f∣|\nabla f|。
  3. 第一步：求偏導函數並列出梯度 ∇f(x,y,z)\nabla f(x, y, z)：
    • fx=2xzey+z2f_x = 2xz e^y + z^2
    • fy=x2zeyf_y = x^2 z e^y
    • fz=x2ey+2xzf_z = x^2 e^y + 2xz
  4. 第二步：將點 (1,ln⁡2,2)(1, \ln 2, 2) 代入求值。
  5. 第三步：計算梯度向量的模長，並寫出單位方向向量。

答題過程

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給定函數為：

f(x,y,z)=x2zey+xz2f(x, y, z) = x^2 z e^y + x z^2

我們對各變數求偏導函數：

fx(x,y,z)= 2xzey+z2fy(x,y,z)= x2zeyfz(x,y,z)= x2ey+2xz\begin{align*} f_x(x, y, z) =&\, 2xz e^y + z^2 \\[2mm] f_y(x, y, z) =&\, x^2 z e^y \\[2mm] f_z(x, y, z) =&\, x^2 e^y + 2xz \end{align*}

將給定點 P0(1,ln⁡2,2)P_0(1, \ln 2, 2)（其中 x=1,y=ln⁡2  ⟹  ey=2,z=2x=1, y=\ln 2 \implies e^y = 2, z=2）代入偏導函數中：

fx(1,ln⁡2,2)= 2(1)(2)(2)+22=8+4=12fy(1,ln⁡2,2)= 12(2)(2)=4fz(1,ln⁡2,2)= 12(2)+2(1)(2)=2+4=6\begin{align*} f_x(1, \ln 2, 2) =&\, 2(1)(2)(2) + 2^2 = 8 + 4 = 12 \\[2mm] f_y(1, \ln 2, 2) =&\, 1^2 (2)(2) = 4 \\[2mm] f_z(1, \ln 2, 2) =&\, 1^2 (2) + 2(1)(2) = 2 + 4 = 6 \end{align*}

因此，在點 (1,ln⁡2,2)(1, \ln 2, 2) 處的梯度向量為：

∇f(1,ln⁡2,2)=⟨12,4,6⟩\nabla f(1, \ln 2, 2) = \langle 12, 4, 6 \rangle

1. 函數增加最快的方向

函數增加最快的方向即為梯度向量的方向。我們通常將其表示為單位方向向量 u\mathbf{u}：

u= ∇f(1,ln⁡2,2)∣∇f(1,ln⁡2,2)∣= ⟨12,4,6⟩122+42+62= ⟨12,4,6⟩144+16+36=⟨12,4,6⟩196=⟨12,4,6⟩14= ⟨67,27,37⟩\begin{align*} \mathbf{u} =&\, \frac{\nabla f(1, \ln 2, 2)}{|\nabla f(1, \ln 2, 2)|} \\[4mm] =&\, \frac{\langle 12, 4, 6 \rangle}{\sqrt{12^2 + 4^2 + 6^2}} \\[4mm] =&\, \frac{\langle 12, 4, 6 \rangle}{\sqrt{144 + 16 + 36}} = \frac{\langle 12, 4, 6 \rangle}{\sqrt{196}} = \frac{\langle 12, 4, 6 \rangle}{14} \\[4mm] =&\, \left\langle \frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7} \right\rangle \end{align*}

寫成標準基底形式為 67i+27j+37k\frac{6}{7}\mathbf{i} + \frac{2}{7}\mathbf{j} + \frac{3}{7}\mathbf{k}。

2. 最大增加率 (Maximum Rate of Increase)

最大增加率為梯度向量的模長：

∣∇f(1,ln⁡2,2)∣=14 .|\nabla f(1, \ln 2, 2)| = 14 \,.