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112 台綜大微積分(B) 第 8 題

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112學年度 · 112微積分B · 第 8 題

題目

Problem

8. Use the method of Lagrange multipliers to find the minimum value of the function f(x,y,z)=x−y+zf(x, y, z) = x - y + z subject to the constraint 2x2+4y2+4z2=92x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 9. (10%)

解答

解法一（標準拉格朗日乘子法）

思路

展開
  1. 本題要求在約束條件 g(x,y,z)=2x2+4y2+4z2−9=0g(x,y,z) = 2x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 9 = 0 下，求目標函數 f(x,y,z)=x−y+zf(x,y,z) = x-y+z 的最小值。
  2. 建立拉格朗日方程式： L(x,y,z,λ)=(x−y+z)−λ(2x2+4y2+4z2−9)\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = (x - y + z) - \lambda(2x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 9)
  3. 第一步：求偏導並列出方程組：
    • Lx=1−4λx=0  ⟹  x=14λ\mathcal{L}_x = 1 - 4\lambda x = 0 \implies x = \frac{1}{4\lambda}
    • Ly=−1−8λy=0  ⟹  y=−18λ\mathcal{L}_y = -1 - 8\lambda y = 0 \implies y = -\frac{1}{8\lambda}
    • Lz=1−8λz=0  ⟹  z=18λ\mathcal{L}_z = 1 - 8\lambda z = 0 \implies z = \frac{1}{8\lambda}
  4. 第二步：代入約束條件求出 λ\lambda： 將 x,y,zx, y, z 的表達式代入 2x2+4y2+4z2=92x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 9，求出 λ\lambda 的值。
  5. 第三步：求極值並確定最小值： 將不同的 λ\lambda 值代入得到對應的臨界點，計算並比較 f(x,y,z)f(x,y,z) 函數值以確定最小值。

答題過程

展開

我們設定拉格朗日函數：

L(x,y,z,λ)=(x−y+z)−λ(2x2+4y2+4z2−9)\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = (x - y + z) - \lambda(2x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 9)

對各變數求偏導並令其為 0，得到方程組：

∂L∂x= 1−4λx=0  ⟹  x=14λ∂L∂y= −1−8λy=0  ⟹  y=−18λ∂L∂z= 1−8λz=0  ⟹  z=18λ∂L∂λ= 2x2+4y2+4z2−9=0\begin{align*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} =&\, 1 - 4\lambda x = 0 \quad\implies x = \frac{1}{4\lambda} \tag{1} \\[2mm] \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} =&\, -1 - 8\lambda y = 0 \implies y = -\frac{1}{8\lambda} \tag{2} \\[2mm] \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} =&\, 1 - 8\lambda z = 0 \quad\implies z = \frac{1}{8\lambda} \tag{3} \\[2mm] \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} =&\, 2x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 9 = 0 \tag{4} \end{align*}

將 (1)、(2)、(3) 代入約束條件 (4) 中：

2(14λ)2+4(−18λ)2+4(18λ)2=92\left(\frac{1}{4\lambda}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{8\lambda}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{8\lambda}\right)^2 = 9 2(116λ2)+4(164λ2)+4(164λ2)=92\left(\frac{1}{16\lambda^2}\right) + 4\left(\frac{1}{64\lambda^2}\right) + 4\left(\frac{1}{64\lambda^2}\right) = 9 18λ2+116λ2+116λ2=9\frac{1}{8\lambda^2} + \frac{1}{16\lambda^2} + \frac{1}{16\lambda^2} = 9 14λ2=9  ⟹  λ2=136  ⟹  λ=±16\frac{1}{4\lambda^2} = 9 \implies \lambda^2 = \frac{1}{36} \implies \lambda = \pm\frac{1}{6}

我們分兩種情況討論臨界點與函數值：

  1. 當 λ=16\lambda = \frac{1}{6} 時：

    x=14(1/6)=32,y=−18(1/6)=−34,z=18(1/6)=34x = \frac{1}{4(1/6)} = \frac{3}{2}, \quad y = -\frac{1}{8(1/6)} = -\frac{3}{4}, \quad z = \frac{1}{8(1/6)} = \frac{3}{4}

    此時目標函數值為：

    f(32,−34,34)=32−(−34)+34=32+32=3f\left(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right) = \frac{3}{2} - \left(-\frac{3}{4}\right) + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3

  2. 當 λ=−16\lambda = -\frac{1}{6} 時：

    x=−32,y=34,z=−34x = -\frac{3}{2}, \quad y = \frac{3}{4}, \quad z = -\frac{3}{4}

    此時目標函數值為：

    f(−32,34,−34)=−32−34+(−34)=−32−32=−3f\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{2} - \frac{3}{4} + \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = -3

由於約束條件定義的曲面 2x2+4y2+4z2=92x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 9 是一個封閉且有界的橢球面，由極值定理，連續函數 ff 在其上必有最大值與最小值。 因此，最小值為：

−3 .-3 \,.

解法二（幾何平行法 — 快速求解）

思路

展開

根據拉格朗日乘子法的幾何本質，在極值點處，目標函數的梯度向量必與約束條件的梯度向量平行，即 ∇f=λ∇g  ⟹  ∇f∥∇g\nabla f = \lambda \nabla g \implies \nabla f \parallel \nabla g。這可以幫助我們快速得到變數間的比例關係。

答題過程

展開

設目標函數為 f(x,y,z)=x−y+zf(x, y, z) = x - y + z，約束面為 g(x,y,z)=2x2+4y2+4z2=9g(x, y, z) = 2x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 9。 計算兩者的梯度向量：

∇f=⟨1,−1,1⟩,∇g=⟨4x,8y,8z⟩\nabla f = \langle 1, -1, 1 \rangle, \quad \nabla g = \langle 4x, 8y, 8z \rangle

在極值點處，兩梯度向量必須平行：

∇g∥∇f  ⟹  4x1=8y−1=8z1\nabla g \parallel \nabla f \implies \frac{4x}{1} = \frac{8y}{-1} = \frac{8z}{1}

由此可得關係式：

4x=−8y=8z  ⟹  y=−x2,z=x24x = -8y = 8z \implies y = -\frac{x}{2}, \quad z = \frac{x}{2}

將 yy 和 zz 的關係代回約束條件 2x2+4y2+4z2=92x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 9 中：

2x2+4(−x2)2+4(x2)2=92x^2 + 4\left(-\frac{x}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{x}{2}\right)^2 = 9 2x2+x2+x2=9  ⟹  4x2=9  ⟹  x=±322x^2 + x^2 + x^2 = 9 \implies 4x^2 = 9 \implies x = \pm\frac{3}{2}
  • 若 x=−32x = -\frac{3}{2}，則 y=34,z=−34y = \frac{3}{4}, z = -\frac{3}{4}，此時目標值為： f(−32,34,−34)=−32−34−34=−3f\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{2} - \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = -3
  • 若 x=32x = \frac{3}{2}，則 y=−34,z=34y = -\frac{3}{4}, z = \frac{3}{4}，此時目標值為 33。

故所求最小值為 −3-3。