題目

Problem

7. Evaluate $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \int_y^{2y} \frac{\sin x}{x} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \int_{\pi/2}^{\pi} \int_y^{\pi} \frac{\sin x}{x} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ . (10%)

解答

解法一

思路

展開

本題要求計算兩個二重積分的和。由於被積函數包含 $\frac{\sin x}{x}$ ，在直角座標下對 $x$ 無法直接求初等積分，因此我們必須交換積分順序，先對 $y$ 進行積分。
第一步：分析並繪出積分區域 $D$ ：
- 第一個區域 $D_1$ : $0 \le y \le \pi/2$ 且 $y \le x \le 2y$ 。其邊界線為 $y = x$ 與 $y = x/2$ 。
- 第二個區域 $D_2$ : $\pi/2 \le y \le \pi$ 且 $y \le x \le \pi$ 。其邊界線為 $y = x$ 與 $x = \pi$ 。
第二步：合併區域並改變投影方向：
- 觀察發現，這兩個區域在幾何上相連，拼合後在 $x$ 軸上的投影範圍為 $0 \le x \le \pi$ 。
- 對於任意固定的 $x \in [0, \pi]$ ， $y$ 的範圍從下方的直線 $y = x/2$ 到上方的直線 $y = x$ 。
- 故合併後的區域為： $0 \le x \le \pi, \ \frac{x}{2} \le y \le x$ 。
第三步：寫出新累次積分並求解： $I = \int_0^{\pi} \int_{x/2}^x \frac{\sin x}{x} \,\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_0^\pi \frac{\sin x}{x} \left( x - \frac{x}{2} \right)\,\mathrm{d}x$ 化簡後直接求單變數定積分。

答題過程

展開

設總積分區域為 $D = D_1 \cup D_2$ ，其中：

\begin{align*} D_1 =&\, \left\{ (x, y) \mid 0 \le y \le \frac{\pi}{2}, \ y \le x \le 2y \right\} \\[2mm] D_2 =&\, \left\{ (x, y) \mid \frac{\pi}{2} \le y \le \pi, \ y \le x \le \pi \right\}

我們在 $xy$ 平面上繪製這兩個區域的邊界線：

直線 $y = x \implies x = y$
直線 $y = \frac{x}{2} \implies x = 2y$
直線 $x = \pi$

拼合 $D_1$ 與 $D_2$ 後，我們將積分順序改為先對 $y$ 積分、再對 $x$ 積分（對 $x$ 軸進行投影）：

$x$ 的總變化範圍為： $0 \le x \le \pi$ 。
對於任意固定的 $x$ ， $y$ 軸向的下界為直線 $y = \frac{x}{2}$ ，上界為直線 $y = x$ 。

因此，合併後的累次積分寫為：

I = \int_0^{\pi} \int_{\frac{x}{2}}^{x} \frac{\sin x}{x} \,\mathrm{d}y\mathrm{d}x

先對內層的 $y$ 進行積分：

\begin{align*} I =&\, \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{x} \left( \int_{\frac{x}{2}}^{x} \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{x} \left( x - \frac{x}{2} \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{x} \left( \frac{x}{2} \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin x \,\mathrm{d}x \end{align*}

最後求解此單變數積分：

I = \frac{1}{2} \left[ -\cos x \right]_0^{\pi} = \frac{1}{2} \left( -\cos\pi - (-\cos 0) \right) = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1 \,.

112 台綜大微積分(B) 第 7 題

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