1. 本題要求計算定積分 $\int_0^1 \frac{1}{2x+10\sqrt{x}+12}\,\mathrm{d}x$。
2. 被積函數的分母含有 $\sqrt{x}$，這提示我們使用根式代換：令 $u = \sqrt{x} \implies x = u^2$。
3. 第一步：換元與變更上下限：
   • $x = u^2 \implies \mathrm{d}x = 2u\,\mathrm{d}u$。
   • 當 $x = 0 \implies u = 0$；當 $x = 1 \implies u = 1$。
4. 第二步：化簡被積函數： 將變數代入後，得到一個有理函數的積分： $\int_0^1 \frac{2u}{2u^2+10u+12}\,\mathrm{d}u = \int_0^1 \frac{u}{u^2+5u+6}\,\mathrm{d}u$。
5. 第三步：部分分式拆分： 分母可因式分解為 $(u+2)(u+3)$。將其拆分為： $\frac{u}{(u+2)(u+3)} = \frac{A}{u+2} + \frac{B}{u+3}$ 求出 $A, B$ 後求積分。

採用換元積分法。令：

變更積分界限：

• 當 $x = 0$ 時， $u = 0$。
• 當 $x = 1$ 時， $u = 1$。

代入原積分式：

我們使用部分分式法 (Partial Fractions) 拆分被積函數：

同乘分母展開：

• 令 $u = -2 \implies -2 = A(1) \implies A = -2$。
• 令 $u = -3 \implies -3 = B(-1) \implies B = 3$。

因此：

進行定積分計算：