1. 本題要求判斷函數 $f(x) = \frac{x}{(x-1)^2}$ 的單調增減區間。
2. 函數的定義域為 $\{ x \in \mathbb{R} \mid x \ne 1 \}$。
3. 第一步：求導函數 $f'(x)$： 使用商的求導法則 (Quotient Rule) 對 $f(x)$ 求導並進行因式分解。
4. 第二步：尋找臨界點 (Critical Points)： 令 $f'(x) = 0$ 解出 $x$。同時注意定義域不連續點 $x=1$。
5. 第三步：分析 $f'(x)$ 在各區間的正負號：
   • 當 $f'(x) > 0$ 時，函數遞增。
   • 當 $f'(x) < 0$ 時，函數遞減。

給定函數為：

我們使用商的求導法則對其求導：

令 $f'(x) = 0 \implies x = -1$（此為函數的唯一臨界點）。 定義域在 $x = 1$ 處不連續。我們以 $x = -1$ 與 $x = 1$ 將實數軸劃分為三個區間，分析 $f'(x)$ 的正負號：

1. 當 $x \in (-\infty, -1)$ 時： $x + 1 < 0$ 且 $(x-1)^3 < 0$，故：

   $$f'(x) = -\frac{(-)}{(-)} < 0 \implies f(x) \text{ 遞減}$$

2. 當 $x \in (-1, 1)$ 時： $x + 1 > 0$ 且 $(x-1)^3 < 0$，故：

   $$f'(x) = -\frac{(+)}{(-)} > 0 \implies f(x) \text{ 遞增}$$

3. 當 $x \in (1, \infty)$ 時： $x + 1 > 0$ 且 $(x-1)^3 > 0$，故：

   $$f'(x) = -\frac{(+)}{(+)} < 0 \implies f(x) \text{ 遞減}$$

綜合上述分析，我們可以得到：

• 遞增區間為： $(-1, 1)$。
• 遞減區間為： $(-\infty, -1)$ 及 $(1, \infty)$。