題目

Problem

4. Find an equation for the tangent line to the curve $x^2 + 4xy + y^3 + 5 = 0$ at the point $(2, -1)$ . (10%)

解答

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本題要求隱函數曲線 $x^2 + 4xy + y^3 + 5 = 0$ 在點 $(2, -1)$ 處的切線方程式。
第一步：求導函數 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ：使用隱函數求導法 (Implicit Differentiation)，對曲線兩邊關於 $x$ 求導，注意 $4xy$ 使用乘積求導法則。
第二步：求切線斜率 $m$ ：將點 $(2, -1)$ 代入導函數表達式，計算出斜率 $m$ 。
第三步：寫出切線方程式：利用點斜式寫出直線方程式。

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給定曲線方程：

x^2 + 4xy + y^3 + 5 = 0

對等式兩邊關於 $x$ 進行隱函數求導，將 $y$ 視為 $x$ 的函數：

2x + 4\left( y + x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) + 3y^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0

整理並提出 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ：

2x + 4y + \left( 4x + 3y^2 \right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 \implies \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{2x + 4y}{4x + 3y^2}

將已知點 $(x, y) = (2, -1)$ 代入，求得該點處的切線斜率 $m$ ：

m = \left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{(2, -1)} = -\frac{2(2) + 4(-1)}{4(2) + 3(-1)^2} = -\frac{4 - 4}{8 + 3} = 0

由於切線斜率 $m = 0$ ，代表這是一條水平切線。通過點 $(2, -1)$ 的水平直線方程式為：

y = -1 \,.