1. 本題要求當 $x \to -\infty$ 時的極限 $\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln(8^x + 9^x)}{3x}$。
2. 因為 $x \to -\infty$，直接處理負無窮可能較為抽象。我們先做變數變換，令 $y = -x \to \infty$。
3. 極限轉為： $\lim_{y \to \infty} \frac{\ln(8^{-y} + 9^{-y})}{-3y}$
4. 當 $y \to \infty$ 時，指數衰減項 $8^{-y}$ 與 $9^{-y}$ 中，誰是主導項？
   • 因為底數 $8 < 9$，當 $y > 0$ 時， $8^{-y} > 9^{-y}$。
   • 因此在無窮遠處， $8^{-y}$ 的衰減速度慢於 $9^{-y}$，它是主導項。
   • 我們可以把主導項 $8^{-y}$ 提出來： $\ln(8^{-y} + 9^{-y}) = \ln\left( 8^{-y} \left( 1 + \left(\frac{8}{9}\right)^y \right) \right) = -y\ln 8 + \ln\left( 1 + \left(\frac{8}{9}\right)^y \right)$
5. 由於 $\frac{8}{9} < 1$，當 $y \to \infty$ 時， $\left(\frac{8}{9}\right)^y \to 0$，故後方的對數項趨近於 $\ln 1 = 0$。
6. 極限便可直接化簡並求解。

為了便於討論，我們令 $y = -x$。當 $x \to -\infty$ 時， $y \to \infty$。 原極限式可以寫為：

我們將對數內部的項提取主導項 $8^{-y}$：

由於底數比值 $\frac{8}{9} < 1$，因此：

將此漸近展開代回極限式：

本極限在 $y \to \infty$ 時為 $\frac{-\infty}{-\infty}$ 不定式，我們也可以使用羅必達法則 (L’Hôpital’s Rule)。

令 $y = -x \to \infty$，極限式為：

應用羅必達法則，對分子分母分別求導：

將分子與分母同乘以 $8^y$：