微積分福音

112 台綜大微積分(B) 第 2 題

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112學年度 · 112微積分B · 第 2 題

題目

Problem

2. Evaluate $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \mathrm{d}x$ . (10%)

解答

解法一

思路

展開

本題要求計算定積分 $\int_1^2 \frac{1}{x^2}\cos(\frac{\pi}{x})\,\mathrm{d}x$ 。
觀察被積函數，包含 $\frac{\pi}{x}$ 與其導數結構相關的 $\frac{1}{x^2}$ 。這提示我們應使用換元積分法 (Substitution Method)。
令 $u = \frac{\pi}{x} \implies \mathrm{d}u = -\frac{\pi}{x^2}\,\mathrm{d}x \implies \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{\pi}\,\mathrm{d}u$ 。
變更積分上下限：
- 當 $x = 1$ 時， $u = \pi$ 。
- 當 $x = 2$ 時， $u = \frac{\pi}{2}$ 。
將所有項代入新變數 $u$ 後求積分。

答題過程

展開

我們採用換元積分法。令：

u = \frac{\pi}{x} \implies \mathrm{d}u = -\frac{\pi}{x^2}\,\mathrm{d}x \implies \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{\pi}\,\mathrm{d}u

變更積分界限：

當 $x = 1$ 時， $u = \frac{\pi}{1} = \pi$ 。
當 $x = 2$ 時， $u = \frac{\pi}{2}$ 。

代入積分式中：

\begin{align*} \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \mathrm{d}x =&\, \int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}} \cos(u) \left( -\frac{1}{\pi} \right) \mathrm{d}u \\[4mm] =&\, \frac{1}{\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(u)\,\mathrm{d}u \\[4mm] =&\, \frac{1}{\pi} \left[ \sin u \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \\[4mm] =&\, \frac{1}{\pi} \left( \sin\pi - \sin\frac{\pi}{2} \right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{\pi} (0 - 1) \\[4mm] =&\, -\frac{1}{\pi} \,. \end{align*}