題目

Problem

10. For $|x| < \frac{3}{2}$ , the function $\displaystyle f(x) = \frac{2x^5}{16x^4 + 81}$ can be expressed as a power series $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ , where $a_n$ ‘s are constants. Find the value of $a_{25}$ . (10%)

解答

解法一

思路

展開

本題要求找出函數 $f(x) = \frac{2x^5}{16x^4 + 81}$ 展開為麥克勞林級數（中心在 $0$ 的冪級數）後， $x^{25}$ 項的係數 $a_{25}$ 。
我們可以利用幾何級數展開公式： $\frac{1}{1 - u} = \sum_{m=0}^{\infty} u^m \quad (\text{當 } |u| < 1)$
第一步：化簡函數結構：將分母提出常數 81，改寫為標準的幾何級數形式： $f(x) = \frac{2x^5}{81 \left( 1 - \left(-\frac{16}{81}x^4\right) \right)}$
第二步：展開成級數：令 $u = -\frac{16}{81}x^4$ ，將其展開成級數： $f(x) = \frac{2x^5}{81} \sum_{m=0}^{\infty} \left(-\frac{16}{81}x^4\right)^m$
第三步：尋找 $x^{25}$ 的項：級數的一般項之次方為 $4m+5$ 。令 $4m+5 = 25 \implies 4m = 20 \implies m=5$ 。將 $m=5$ 代入係數表達式，即可算出 $a_{25}$ 的值。

答題過程

展開

我們首先利用幾何級數公式將 $f(x)$ 改寫：

f(x) = \frac{2x^5}{16x^4 + 81} = \frac{2x^5}{81 \left( 1 + \frac{16}{81}x^4 \right)} = \frac{2x^5}{81} \cdot \frac{1}{1 - \left( -\frac{16}{81}x^4 \right)}

由於已知 $|x| < \frac{3}{2}$ ，我們可以推得：

\left| -\frac{16}{81}x^4 \right| = \frac{16}{81}|x|^4 < \frac{16}{81} \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{16}{81} \cdot \frac{81}{16} = 1

符合幾何級數的收斂條件。因此，我們將其展開為無窮級數：

\begin{align*} f(x) =&\, \frac{2x^5}{81} \sum_{m=0}^{\infty} \left( -\frac{16}{81}x^4 \right)^m \\[4mm] =&\, \frac{2x^5}{81} \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \frac{16^m}{81^m} x^{4m} \\[4mm] =&\, \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \frac{2 \cdot 2^{4m}}{3^4 \cdot (3^4)^m} x^{4m+5} \\[4mm] =&\, \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \frac{2^{4m+1}}{3^{4m+4}} x^{4m+5} \end{align*}

題目要求 $x^{25}$ 的係數 $a_{25}$ 。令 $x$ 的次方為 $25$ ：

4m + 5 = 25 \implies 4m = 20 \implies m = 5

將 $m = 5$ 代入級數的係數項中：

\begin{align*} a_{25} =&\, (-1)^5 \frac{2^{4(5)+1}}{3^{4(5)+4}} \\[4mm] =&\, - \frac{2^{21}}{3^{24}} \,. \end{align*}

112 台綜大微積分(B) 第 10 題

題目

解答

解法一

思路

答題過程