1. 本題要求二維向量場 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle = \langle y e^{xy}, x e^{xy} \rangle$ 在閉曲線 $C$（單位圓）上的環量線積分。
2. 首先判斷向量場是否為保守場 (Conservative Vector Field)：
   • $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy}) = e^{xy} + xye^{xy}$
   • $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x e^{xy}) = e^{xy} + xye^{xy}$
   • 因為 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，且定義域為整個 $\mathbb{R}^2$（單連通區域），故 $\mathbf{F}$ 是保守場。
3. 保守場最重要的幾何性質為：沿任意閉曲線的線積分恆為 0。
4. 由於 $C$ 是一條封閉的單位圓周，因此其線積分值必然為 $0$。

設向量場 $\mathbf{F}(x, y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle = \langle y e^{xy}, x e^{xy} \rangle$。 我們計算其旋度（在二維平面上即判斷偏導數是否相等）：

因為 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 於全平面 $\mathbb{R}^2$ 恆成立，且 $\mathbb{R}^2$ 為單連通區域，因此 $\mathbf{F}$ 為保守場 (Conservative Vector Field)。 事實上，我們可以輕易看出 $\mathbf{F}$ 的勢函數 (Potential Function) 為：

根據保守線積分的性質，保守場沿著任意閉曲線 $C$ 的線積分皆為零。由於單位圓 $C: x^2 + y^2 = 1$ 為一封閉曲線，故：

對於平面閉曲線線積分，我們可以直接套用格林定理 (Green’s Theorem)，將線積分轉化為雙重積分。

設 $D$ 為單位圓 $C: x^2+y^2=1$ 所圍成的圓盤區域。 根據格林定理：

將偏導數帶入：