題目

Problem

7. Find equations of the tangent plane and the normal line to the surface $x + 2y + 3z = \sin(xyz)$ at the point $(2, -1, 0)$ . (10%)

解答

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設曲面方程式為隱函數形式： $F(x, y, z) = x + 2y + 3z - \sin(xyz) = 0$ 。
該曲面在已知點 $P_0(2, -1, 0)$ 處的法向量即為梯度向量 $\nabla F(2, -1, 0)$ 。
第一步：求偏導數並計算梯度值：
- $\frac{\partial F}{\partial x} = 1 - yz\cos(xyz)$
- $\frac{\partial F}{\partial y} = 2 - xz\cos(xyz)$
- $\frac{\partial F}{\partial z} = 3 - xy\cos(xyz)$
- 將 $(2, -1, 0)$ 代入得到法向量 $\mathbf{n} = \langle a, b, c \rangle$ 。
第二步：寫出切平面方程式： $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$
第三步：寫出法線方程式：使用對稱式或參數式表達法線。

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設曲面的隱函數形式為：

F(x, y, z) = x + 2y + 3z - \sin(xyz) = 0

對各變數求偏導數：

\begin{align*} F_x(x, y, z) =&\, 1 - yz\cos(xyz) \\[2mm] F_y(x, y, z) =&\, 2 - xz\cos(xyz) \\[2mm] F_z(x, y, z) =&\, 3 - xy\cos(xyz) \end{align*}

將給定點 $P_0(2, -1, 0)$ 代入，求得該點處的梯度向量（即切平面法向量 $\mathbf{n}$ ）：

\begin{align*} F_x(2, -1, 0) =&\, 1 - (-1)(0)\cos(0) = 1 \\[2mm] F_y(2, -1, 0) =&\, 2 - (2)(0)\cos(0) = 2 \\[2mm] F_z(2, -1, 0) =&\, 3 - (2)(-1)\cos(0) = 3 - (-2) = 5 \end{align*}

故法向量為 $\mathbf{n} = \langle 1, 2, 5 \rangle$ 。

使用點法式，通過點 $(2, -1, 0)$ 且法向量為 $\langle 1, 2, 5 \rangle$ 的平面方程式為：

1(x - 2) + 2(y - (-1)) + 5(z - 0) = 0

展開並化簡：

x - 2 + 2y + 2 + 5z = 0 \implies x + 2y + 5z = 0

通過點 $(2, -1, 0)$ 且方向向量為 $\langle 1, 2, 5 \rangle$ 的法線參數式為：

\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 5t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

或寫成對稱式：

x - 2 = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{5}