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112 台綜大微積分(A) 第 6 題

考題 / 轉學考微積分 / 台綜大 / 微積分A

112學年度 · 112微積分A · 第 6 題

題目

Problem

6. Find the unit tangent vector and the unit normal vector for the curve r(t)=cos⁡3ti+sin⁡3tj+4tk\mathbf{r}(t) = \cos 3t\mathbf{i} + \sin 3t\mathbf{j} + 4t\mathbf{k}. (10%)

解答

解法一

思路

展開
  1. 設空間曲線向量函數為 r(t)\mathbf{r}(t)。
  2. 單位切向量 T(t)\mathbf{T}(t) 的定義為： T(t)=r′(t)∣r′(t)∣\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}
  3. 單位法向量 N(t)\mathbf{N}(t) 的定義為： N(t)=T′(t)∣T′(t)∣\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}
  4. 計算步驟：
    • 求出導數向量 r′(t)\mathbf{r}'(t)，計算其模長並求出 T(t)\mathbf{T}(t)。
    • 對 T(t)\mathbf{T}(t) 求導得到 T′(t)\mathbf{T}'(t)，計算其模長並求出 N(t)\mathbf{N}(t)。

答題過程

展開

首先對曲線向量函數 r(t)=⟨cos⁡3t,sin⁡3t,4t⟩\mathbf{r}(t) = \langle \cos 3t, \sin 3t, 4t \rangle 求導：

r′(t)=⟨−3sin⁡3t,3cos⁡3t,4⟩\mathbf{r}'(t) = \langle -3\sin 3t, 3\cos 3t, 4 \rangle

計算其模長：

∣r′(t)∣= (−3sin⁡3t)2+(3cos⁡3t)2+42= 9(sin⁡23t+cos⁡23t)+16= 9+16=25=5\begin{align*} |\mathbf{r}'(t)| =&\, \sqrt{(-3\sin 3t)^2 + (3\cos 3t)^2 + 4^2} \\[2mm] =&\, \sqrt{9(\sin^2 3t + \cos^2 3t) + 16} \\[2mm] =&\, \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \end{align*}

因此，單位切向量 T(t)\mathbf{T}(t) 為：

T(t)=r′(t)∣r′(t)∣=⟨−35sin⁡3t,35cos⁡3t,45⟩\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} = \left\langle -\frac{3}{5}\sin 3t, \frac{3}{5}\cos 3t, \frac{4}{5} \right\rangle

接著，對 T(t)\mathbf{T}(t) 關於 tt 求導：

T′(t)=⟨−95cos⁡3t,−95sin⁡3t,0⟩\mathbf{T}'(t) = \left\langle -\frac{9}{5}\cos 3t, -\frac{9}{5}\sin 3t, 0 \right\rangle

計算其模長：

∣T′(t)∣=(−95cos⁡3t)2+(−95sin⁡3t)2+02=95|\mathbf{T}'(t)| = \sqrt{\left(-\frac{9}{5}\cos 3t\right)^2 + \left(-\frac{9}{5}\sin 3t\right)^2 + 0^2} = \frac{9}{5}

最後，得到單位法向量 N(t)\mathbf{N}(t) 為：

N(t)=T′(t)∣T′(t)∣=⟨−95cos⁡3t,−95sin⁡3t,0⟩95=⟨−cos⁡3t,−sin⁡3t,0⟩\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|} = \frac{\langle -\frac{9}{5}\cos 3t, -\frac{9}{5}\sin 3t, 0 \rangle}{\frac{9}{5}} = \langle -\cos 3t, -\sin 3t, 0 \rangle

寫為標準基底向量形式：

  • 單位切向量 T(t)=−35sin⁡3ti+35cos⁡3tj+45k\mathbf{T}(t) = -\frac{3}{5}\sin 3t\mathbf{i} + \frac{3}{5}\cos 3t\mathbf{j} + \frac{4}{5}\mathbf{k}
  • 單位法向量 N(t)=−cos⁡3ti−sin⁡3tj\mathbf{N}(t) = -\cos 3t\mathbf{i} - \sin 3t\mathbf{j}