題目

Problem

4. Find the length of the polar curve $r = \sin^3(\theta/3)$ , $0 \le \theta \le \pi$ . (10%)

解答

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極座標曲線的弧長公式為： $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2} \,\mathrm{d}\theta$ 本題中 $\alpha = 0, \beta = \pi$ 。
第一步：求導 $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}$ ：利用連鎖律對 $r = \sin^3(\theta/3)$ 求導。
第二步：簡化根式項：將 $r^2$ 與 $(r')^2$ 相加，並利用三角恆等式 $\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1$ 進行化簡。
第三步：進行積分：將化簡後的結果代入積分公式，利用半角或倍角公式求解單變數積分。

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極座標弧長公式為：

L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{r^2 + \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2} \,\mathrm{d}\theta

首先，對 $r = \sin^3\left(\frac{\theta}{3}\right)$ 關於 $\theta$ 求導：

\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} = 3\sin^2\left(\frac{\theta}{3}\right) \cdot \cos\left(\frac{\theta}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = \sin^2\left(\frac{\theta}{3}\right)\cos\left(\frac{\theta}{3}\right)

計算根號內的表達式：

\begin{align*} r^2 + \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 =&\, \sin^6\left(\frac{\theta}{3}\right) + \sin^4\left(\frac{\theta}{3}\right)\cos^2\left(\frac{\theta}{3}\right) \\[2mm] =&\, \sin^4\left(\frac{\theta}{3}\right) \left[ \sin^2\left(\frac{\theta}{3}\right) + \cos^2\left(\frac{\theta}{3}\right) \right] \\[2mm] =&\, \sin^4\left(\frac{\theta}{3}\right) \end{align*}

因此，弧長微元為：

\mathrm{d}s = \sqrt{\sin^4\left(\frac{\theta}{3}\right)}\,\mathrm{d}\theta = \sin^2\left(\frac{\theta}{3}\right)\,\mathrm{d}\theta

（在 $0 \le \theta \le \pi$ 區間內， $\sin(\theta/3) \ge 0$ ）

將其代入弧長積分：

\begin{align*} L =&\, \int_0^{\pi} \sin^2\left(\frac{\theta}{3}\right)\,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos\left(\frac{2\theta}{3}\right)}{2}\,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \left[ \theta - \frac{3}{2}\sin\left(\frac{2\theta}{3}\right) \right]_0^{\pi} \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \left[ \left( \pi - \frac{3}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right) - 0 \right] \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \left( \pi - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\[4mm] =&\, \frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{8} \,. \end{align*}