1. 本題要求反函數在 $y=0$ 處的導數 $(f^{-1})'(0)$。
2. 根據反函數求導法則： $(f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(x_0)} \quad \text{其中 } f(x_0) = 0$
3. 第一步：求 $x_0$： 令 $f(x_0) = \int_2^{e^{x_0}} \sqrt{1 + t^2} \,\mathrm{d}t = 0$。 要使積分值為 $0$，其積分上下限必須相等，故 $e^{x_0} = 2 \implies x_0 = \ln 2$。
4. 第二步：求導函數 $f'(x)$： 利用微積分基本定理與連鎖律： $f'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_2^{e^x} \sqrt{1 + t^2} \,\mathrm{d}t = \sqrt{1 + (e^x)^2} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^x) = \sqrt{1 + e^{2x}} \cdot e^x$
5. 第三步：代入計算： 計算 $f'(\ln 2)$ 的值，最後取倒數即得答案。

根據反函數求導公式，若 $f(x_0) = 0$，則：

首先，我們求解 $x_0$：

由於被積函數 $\sqrt{1+t^2} > 0$ 恆正，積分值為 $0$ 當且僅當積分上限等於下限：

接著，利用微積分基本定理與連鎖律對 $f(x)$ 求導：

將 $x_0 = \ln 2$ 代入導函數：

因此，所求反函數之導數為：