1. 設曲線上任意一點為 $P(x, y) = (x, \sqrt{x})$，其中 $x \ge 0$。
2. 該點到已知點 $A(1, 0)$ 的距離平方函數設為 $f(x)$： $f(x) = d^2 = (x-1)^2 + (y-0)^2 = (x-1)^2 + x$
3. 將 $f(x)$ 展開並整理成二次多項式，再通過求導（或配方法）求其在 $x \ge 0$ 範圍內的極小值點。
4. 求出 $x$ 後，代回 $y = \sqrt{x}$ 即可得到最接近的點座標。

設曲線上任意點為 $P(x, \sqrt{x})$，其中 $x \ge 0$。 該點到 $A(1, 0)$ 的距離平方設為 $f(x)$：

為求最接近點，我們對 $f(x)$ 求導：

令 $f'(x) = 0 \implies x = \frac{1}{2}$。

由於二次導數 $f''(x) = 2 > 0$，故在 $x = \frac{1}{2}$ 處 $f(x)$ 取得絕對極小值（亦即距離最短）。 此時 $y$ 座標為：

因此，曲線上距離 $(1, 0)$ 最近的點座標為：

1. 利用幾何性質：曲線上距離已知點最近的點，其與已知點的連線向量必須垂直於該點處的切線向量（即平行於法線向量）。
2. 定義隱函數 $g(x, y) = y - \sqrt{x} = 0$，其梯度向量 $\nabla g(x, y)$ 即為法線方向。
3. 設曲線點為 $P(a, b)$，已知點為 $A(1, 0)$。連線向量 $\vec{AP} = (a-1)\mathbf{i} + b\mathbf{j}$ 與 $\nabla g(a, b)$ 平行： $\vec{AP} \parallel \nabla g(a, b)$
4. 解此平行關係即可求出 $a$ 與 $b$。

設曲線上最近的點為 $P(a, b)$，滿足 $b = \sqrt{a}$ 且 $a \ge 0$。 定義隱函數：

其在點 $P(a, b)$ 的梯度向量（法線方向）為：

已知點為 $A(1, 0)$，連線向量為：

因為連線向量必須平行於法線方向：

展開並解方程：

代回 $b = \sqrt{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

故最接近的點座標為：