題目

Problem

\lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{2 - \sqrt{x}} \,.

解答

展開

本題要求極限 $\lim_{x\to 4} \frac{4-x}{2-\sqrt{x}}$ 。
當 $x\to 4$ 時，分子 $4-x \to 0$ ，分母 $2-\sqrt{x} \to 0$ ，此為 $\frac{0}{0}$ 型不定式。
我們可以使用代數因式分解或分子有理化消去分母中的零因子：
- 因式分解：將分子 $4-x$ 視為平方差，寫成 $(2+\sqrt{x})(2-\sqrt{x})$ 。
- 分母有理化：分子分母同乘以 $(2+\sqrt{x})$ 。
消去零因子 $(2-\sqrt{x})$ 後直接代入 $x=4$ 即可。

展開

當 $x \to 4$ 時，原極限為 $\frac{0}{0}$ 不定式。我們將分子利用平方差公式進行因式分解：

4 - x = (2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})

代回原極限：

\begin{align*} \lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{2 - \sqrt{x}} =&\, \lim_{x \to 4} \frac{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})}{2 - \sqrt{x}} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 4} (2 + \sqrt{x}) \\[4mm] =&\, 2 + \sqrt{4} \\[4mm] =&\, 2 + 2 \\[4mm] =&\, 4 \,. \end{align*}

展開

因為本極限是 $\frac{0}{0}$ 不定式，我們也可以直接套用羅必達法則 (L’Hôpital’s Rule)，對分子與分母分別求導。

展開

原極限為 $\frac{0}{0}$ 不定式，由羅必達法則：

\begin{align*} \lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{2 - \sqrt{x}} =&\, \lim_{x \to 4} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(4 - x)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2 - \sqrt{x})} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 4} \frac{-1}{-\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 4} 2\sqrt{x} \\[4mm] =&\, 2\sqrt{4} \\[4mm] =&\, 4 \,. \end{align*}