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109 學年度台綜大微積分 C 第 9 題

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109學年度 · 109台綜大微積分C · 第 9 題

題目

9. (10 points) Evaluate the line integral ∫Cy3 dx−x3 dy\int_C y^3 \, dx - x^3 \, dy, where CC is the circle x2+y2=8x^2+y^2=8 with positive orientation.

解答

解法一

思路

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  • 曲線是正向圓，使用格林定理將線積分化為圓盤上的二重積分。

答題過程

令 P=y3P=y^3、Q=−x3Q=-x^3。由格林定理，

∮CP dx+Q dy= ∬x2+y2≤8(∂Q∂x−∂P∂y) dA= ∬r≤8−3r2 dA= −3∫02π∫08r3 dr dθ=−96π.\begin{align*} \oint_C P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =&\,\iint_{x^2+y^2\le8}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}A\\[4mm] =&\,\iint_{r\le\sqrt8}-3r^2\,\mathrm{d}A\\[4mm] =&\,-3\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt8}r^3\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\boxed{-96\pi}. \end{align*}