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109 學年度台綜大微積分 C 第 7 題

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109學年度 · 109台綜大微積分C · 第 7 題

題目

7. (10 points) Recall that the hyperbolic tangent function

tanh⁡x=ex−e−xex+e−x, x∈R\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}},\ x \in \mathbb{R}

is one to one and has the inverse function f(x)=tanh⁡−1xf(x)=\tanh^{-1}x. Find the Maclaurin series of f(x)=tanh⁡−1xf(x)=\tanh^{-1}x.

解答

解法一

思路

展開
  • 先求反雙曲正切的導數 f′(x)=11−x2f'(x)=\frac1{1-x^2}。
  • 將幾何級數逐項積分，並用 f(0)=0f(0)=0 決定常數。

答題過程

由反函數求導，

f′(x)=11−x2=1+x2+x4+⋯(∣x∣<1).f'(x)=\frac1{1-x^2}=1+x^2+x^4+\cdots\qquad(|x|<1).

逐項從 00 積分到 xx，得到

tanh⁡−1x=x+x33+x55+⋯=∑n=0∞x2n+12n+1,∣x∣<1.\boxed{\tanh^{-1}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots =\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1}.