題目 10. (10 points) Let F(x,y,z)=xi+yj−2zk\mathbf{F}(x,y,z)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}-2z\mathbf{k}F(x,y,z)=xi+yj−2zk. Suppose that the closed surface SSS is defined by the paraboloid y=x2+z2y=x^2+z^2y=x2+z2 with 0≤y≤10 \le y \le 10≤y≤1. Find the flux of F\mathbf{F}F outward across SSS. 解答 解法一 思路 展開 題目明示 SSS 為封閉曲面，直接用散度定理。 向量場的散度為零，所以不必參數化拋物面。 答題過程 令 EEE 為 SSS 所圍的立體。由散度定理， ∬SF⋅n dS=∭E∇⋅F dV.\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,\mathrm{d}S =\iiint_E\nabla\cdot\mathbf F\,\mathrm{d}V.∬SF⋅ndS=∭E∇⋅FdV. 而 ∇⋅F=∂x∂x+∂y∂y+∂(−2z)∂z=1+1−2=0.\nabla\cdot\mathbf F =\frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial y}{\partial y} +\frac{\partial(-2z)}{\partial z} =1+1-2=0.∇⋅F=∂x∂x+∂y∂y+∂z∂(−2z)=1+1−2=0. 故外向通量為 0\boxed{0}0。
