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109 學年度台綜大微積分 B 第 7 題

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109學年度 · 109台綜大微積分B · 第 7 題

題目

7. (10 points) A dog is running along a semi-circular track with radius 1 km in counterclockwise direction with speed 0.1 km per minute (See Figure).

Let hh be the distance between the dog and point AA. Find the rate of change of hh at point DD, half way between BB and CC.

解答

解法一

思路

展開
  • 以圓心為原點，令狗從 AA 出發的圓心角為 θ\theta；半徑為 11，故 dθdt=0.1\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0.1。
  • hh 是弦長，利用餘弦定理表示 hh 與 θ\theta 的關係後再相關變率。

答題過程

由圖可知在 DD 時 θ=3π4\theta=\frac{3\pi}{4}。三角形由兩條半徑與弦 hh 組成，故

h2=12+12−2cos⁡θ=2−2cos⁡θ.h^2=1^2+1^2-2\cos\theta=2-2\cos\theta.

兩邊對時間微分：

2hdhdt=2sin⁡θdθdt.2h\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} =2\sin\theta\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}.

又

h∣θ=3π/4=2+2,dθdt=0.1.h\bigg|_{\theta=3\pi/4}=\sqrt{2+\sqrt2}, \qquad \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0.1.

因此

dhdt=0.1sin⁡(3π/4)2+2=110cos⁡3π8 km/min.\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} =\frac{0.1\sin(3\pi/4)}{\sqrt{2+\sqrt2}} =\boxed{\frac1{10}\cos\frac{3\pi}{8}\ \text{km/min}}.