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109 學年度台綜大微積分 B 第 10 題

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109學年度 · 109台綜大微積分B · 第 10 題

題目

10. (10 points) Use Lagrange multiplier to find the extreme value of

f(x,y,z)=exyzf(x,y,z)=e^{xyz}

subject to the constraint

x3−y3+z3=24.x^3-y^3+z^3=24.

Also, indicate the value(s) you obtain is (are) maximum or minimum.

解答

解法一

思路

展開
  • 指數函數遞增，因此先在限制條件下找 xyzxyz 的臨界點。
  • 非零臨界點由拉格朗日乘子方程相除，可得三個變數的比例；再代回限制條件。
  • 另檢查座標平面上的臨界點，並判斷全域極值是否存在。

答題過程

令 g(x,y,z)=x3−y3+z3−24g(x,y,z)=x^3-y^3+z^3-24。拉格朗日方程為

yz=3λx2,xz=−3λy2,xy=3λz2.yz=3\lambda x^2, \qquad xz=-3\lambda y^2, \qquad xy=3\lambda z^2.

若 xyz≠0xyz\ne0，比較三式可得 y=−xy=-x、z=xz=x。代入限制條件：

x3−(−x)3+x3=3x3=24,x^3-(-x)^3+x^3=3x^3=24,

所以 (x,y,z)=(2,−2,2)(x,y,z)=(2,-2,2)，並且

f(2,−2,2)=e−8.f(2,-2,2)=\boxed{e^{-8}}.

在 x,y,zx,y,z 均非零且符號保持不變的鄰域中，可令 a=x3a=x^3、b=−y3b=-y^3、c=z3c=z^3。此時 a,b,c>0a,b,c>0 且 a+b+c=24a+b+c=24；由 AM-GM，

abc≤(243)3=512.abc\le\left(\frac{24}{3}\right)^3=512.

因此 xyz=−abc3≥−8xyz=-\sqrt[3]{abc}\ge-8，故 e−8e^{-8} 是此限制曲面上的局部最小值。

此外，座標平面上的拉格朗日臨界點為

(243,0,0),(0,−243,0),(0,0,243),(\sqrt[3]{24},0,0),\quad(0,-\sqrt[3]{24},0),\quad(0,0,\sqrt[3]{24}),

它們的函數值皆為 11。在每一點附近，xyzxyz 都可以取正、負兩種符號，故皆為鞍點。

限制曲面並不封閉：例如取 x=−M1/3x=-M^{1/3}、y=M1/3y=M^{1/3}、z=(24+2M)1/3z=(24+2M)^{1/3}，仍滿足限制條件，而 xyz→−∞xyz\to-\infty；取 x=M1/3x=M^{1/3}、y=−M1/3y=-M^{1/3}、z=(24−2M)1/3z=(24-2M)^{1/3} 則有 xyz→+∞xyz\to+\infty。故 ff 沒有全域最小值或全域最大值。