CalcGospel 微積分福音
返回

109 學年度台綜大微積分 A 第 9 題

考題 / 轉學考微積分 / 台綜大 / 微積分A

109學年度 · 109台綜大微積分A · 第 9 題

題目

9. (10 pts) Let CC be the curve in R3\mathbb{R}^3 defined by the parametric equation

x(t)=cos⁡(t), y(t)=sin⁡(t), z(t)=tx(t)=\cos(t),\ y(t)=\sin(t),\ z(t)=t

for 0≤t≤a0 \le t \le a. Suppose that the arc length of CC is 2π4\dfrac{\sqrt{2}\pi}{4}. Evaluate the line integral ∫CF⋅dr\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} of the vector field F=xzi+yzj+x3k\mathbf{F}=xz\mathbf{i}+yz\mathbf{j}+x^3\mathbf{k} on R3\mathbb{R}^3.

解答

解法一

思路

展開
  • 先由速度向量求弧長，決定終點參數 aa。
  • 線積分以題給參數 tt 代入，計算 F(r(t))⋅r′(t)\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)。

答題過程

曲線的位置與速度向量為

r(t)=(cos⁡t,sin⁡t,t),r′(t)=(−sin⁡t,cos⁡t,1).\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,t), \qquad \mathbf r'(t)=(-\sin t,\cos t,1).

因此 ∥r′(t)∥=2\|\mathbf r'(t)\|=\sqrt2，由弧長條件得

2 a=2π4,a=π4.\sqrt2\,a=\frac{\sqrt2\pi}{4}, \qquad a=\frac\pi4.

又

F(r(t))=(tcos⁡t,tsin⁡t,cos⁡3t),\mathbf F(\mathbf r(t))=(t\cos t,t\sin t,\cos^3t),

故

∫CF⋅dr= ∫0π/4(−tcos⁡tsin⁡t+tsin⁡tcos⁡t+cos⁡3t) dt= ∫0π/4cos⁡3t dt= [sin⁡t−sin⁡3t3]0π/4=5212.\begin{align*} \int_C\mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r =&\,\int_0^{\pi/4}\left(-t\cos t\sin t+t\sin t\cos t+\cos^3t\right)\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\int_0^{\pi/4}\cos^3t\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\left[\sin t-\frac{\sin^3t}{3}\right]_0^{\pi/4} =\frac{5\sqrt2}{12}. \end{align*}

所以線積分為 5212\boxed{\frac{5\sqrt2}{12}}。