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109 學年度台綜大微積分 A 第 7 題

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109學年度 · 109台綜大微積分A · 第 7 題

題目

7. (10 pts) Let SS be the surface defined by the equation

xcos⁡(xy)+z2y4−7xz=1x \cos(xy) + z^2 y^4 - 7xz = 1

and P(0,1,1)P(0,1,1) be a point on SS. Find an equation that defines the tangent plane to SS at PP and a parametric equation of the normal line to SS at PP.

解答

解法一

思路

展開
  • 把曲面左側記為 F(x,y,z)F(x,y,z)；∇F(P)\nabla F(P) 垂直於曲面，所以同時給出切平面的法向量與法線方向。
  • 算出三個偏導數後，分別套入點法式和平直線的參數式。

答題過程

令

F(x,y,z)=xcos⁡(xy)+z2y4−7xz.F(x,y,z)=x\cos(xy)+z^2y^4-7xz.

則

Fx= cos⁡(xy)−xysin⁡(xy)−7z,Fy= −x2sin⁡(xy)+4z2y3,Fz= 2zy4−7x.\begin{align*} F_x=&\,\cos(xy)-xy\sin(xy)-7z,\\[4mm] F_y=&\,-x^2\sin(xy)+4z^2y^3,\\[4mm] F_z=&\,2zy^4-7x. \end{align*}

在 P=(0,1,1)P=(0,1,1)，

∇F(P)=(−6,4,2).\nabla F(P)=(-6,4,2).

故切平面為

−6(x−0)+4(y−1)+2(z−1)=0,-6(x-0)+4(y-1)+2(z-1)=0,

也就是 −3x+2y+z−3=0\boxed{-3x+2y+z-3=0}。

法線通過 PP 且方向為 ∇F(P)\nabla F(P)，故可寫為

(x,y,z)=(0,1,1)+t(−6,4,2),t∈R.\boxed{(x,y,z)=(0,1,1)+t(-6,4,2),\quad t\in\mathbb{R}}.