CalcGospel 微積分福音
返回

109 學年度台綜大微積分 A 第 5 題

考題 / 轉學考微積分 / 台綜大 / 微積分A

109學年度 · 109台綜大微積分A · 第 5 題

題目

5. (10 pts) Evaluate the improper integral

∫0π2cos⁡x(ln⁡cos⁡x2+ln⁡sin⁡x2)dx.\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \left( \ln \cos \frac{x}{2} + \ln \sin \frac{x}{2} \right) dx.

解答

解法一

思路

展開
  • 先合併兩個對數，再用 sin⁡x=2sin⁡x2cos⁡x2\sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2 簡化。
  • 端點的對數發散須以極限處理；代換 u=sin⁡xu=\sin x 後成為基本的對數積分。

答題過程

把瑕積分先寫成端點極限：

I= lim⁡b→0+∫bπ/2cos⁡xln⁡(sin⁡x2cos⁡x2) dx= lim⁡b→0+∫bπ/2cos⁡xln⁡(sin⁡x2) dx.\begin{align*} I =&\,\lim_{b\to0^+}\int_b^{\pi/2} \cos x\ln\left(\sin\frac x2\cos\frac x2\right)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\lim_{b\to0^+}\int_b^{\pi/2} \cos x\ln\left(\frac{\sin x}{2}\right)\,\mathrm{d}x. \end{align*}

令 u=sin⁡xu=\sin x，則 du=cos⁡x dx\mathrm{d}u=\cos x\,\mathrm{d}x，故

I= ∫01ln⁡(u2) du= [uln⁡(u2)−u]01= −1−ln⁡2.\begin{align*} I =&\,\int_0^1\ln\left(\frac u2\right)\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\left[u\ln\left(\frac u2\right)-u\right]_0^1\\[4mm] =&\,-1-\ln2. \end{align*}

所以積分值為 −1−ln⁡2\boxed{-1-\ln2}。