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109 學年度台綜大微積分 A 第 4 題

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109學年度 · 109台綜大微積分A · 第 4 題

題目

4. (10 pts) Find the radius of the convergence of the power series ∑n=0∞(2n)nn!xn\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n)^n}{n!} x^n.

解答

解法一

思路

展開
  • 這是冪級數，直接對相鄰兩項使用比值審斂法。
  • 將含有 nn 的冪次整理後取極限，再由收斂條件解出 ∣x∣|x| 的範圍。

答題過程

令 an=(2n)nn!xna_n=\frac{(2n)^n}{n!}x^n。則

∣an+1an∣= 2∣x∣(1+1n)n⟶ 2e∣x∣.\begin{align*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =&\,2|x|\left(1+\frac1n\right)^n\\[4mm] \longrightarrow&\,2e|x|. \end{align*}

依比值審斂法，當 2e∣x∣<12e|x|<1 時級數收斂。因此收斂半徑為

R=12e.\boxed{R=\frac{1}{2e}}.