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109 學年度台綜大微積分 A 第 2 題

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109學年度 · 109台綜大微積分A · 第 2 題

題目

2. (10 pts) A curve in R2\mathbb{R}^2 is given parametrically by

x=t2+2t+3x=t^2+2t+3 y=t4−3t3y=t^4-3t^3

for all t>0t>0. Find dydx\dfrac{dy}{dx} at the point (6,−2)(6, -2).

解答

解法一

思路

展開
  • 先由點的 xx 座標找出對應參數 tt。
  • 參數曲線的斜率是 dy/dtdx/dt\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}。

答題過程

由 t2+2t+3=6t^2+2t+3=6 且 t>0t>0，得 t=1t=1；此時 y=1−3=−2y=1-3=-2，確為所求點。

dxdt=2t+2,dydt=4t3−9t2.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t+2, \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=4t^3-9t^2.

因此

dydx∣t=1=4−92+2=−54.\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{t=1} =\frac{4-9}{2+2} =-\frac54.

故斜率為 −54\boxed{-\frac54}。