題目 6. (10 points) Find the radius of convergence of the series ∑n=1∞n(x+3)n4n+1\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n(x+3)^n}{4^{n+1}}∑n=1∞4n+1n(x+3)n. 解答 解法一 根值判別法的極限為 limn→∞∣n(x+3)n4n+1∣n=∣x+3∣4.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{n(x+3)^n}{4^{n+1}}\right|} =\frac{|x+3|}{4}.n→∞limn4n+1n(x+3)n=4∣x+3∣. 因此收斂條件是 ∣x+3∣<4|x+3|<4∣x+3∣<4，收斂半徑為 4\boxed{4}4。
