題目

Problem

(9) (10 pts) Use Lagrange multipliers to find the extremum of the function

f(x,y,z)=xyz

subject to the constraint $xy+2xz+2yz=12$ .

解答

令限制式為 $g(x,y,z)=xy+2xz+2yz$ 。拉格朗日條件 $\nabla f=\lambda\nabla g$ 給出

yz=\lambda(y+2z),\qquad xz=\lambda(x+2z),\qquad xy=\lambda(2x+2y).

限制式保證 $x,y,z$ 均不為 $0$ 。比較前兩式可得 $x=y$ ；代回第三式得 $\lambda=\frac{x}{4}$ 。再代入第一式，得到 $x=2z$ 。

因此 $x=y=2z$ 。由限制式

xy+2xz+2yz=3x^2=12,

故臨界點為

(x,y,z)=(2,2,1),\qquad(-2,-2,-1).

在限制曲面上消去 $z$ ，可寫成

xyz=\frac{xy(12-xy)}{2(x+y)}.

在臨界點附近可由限制式消去 $z$ ，故只需檢查上式作為 $x,y$ 函數的二階導數。在 $(2,2)$ 和 $(-2,-2)$ 處，其 Hessian 分別為

\begin{pmatrix}-1&-\frac12\\[2mm]-\frac12&-1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}1&\frac12\\[2mm]\frac12&1\end{pmatrix}.

前者負定、後者正定，因此 $(2,2,1)$ 為局部極大點， $(-2,-2,-1)$ 為局部極小點。因此

\boxed{\text{局部極大值為 }4\text{，局部極小值為 }-4}.

此外，令 $x=y=t$ ，則 $z=\frac{12-t^2}{4t}$ ，而 $xyz=3t-\frac14t^3$ 可正、負無界；所以限制曲面上沒有絕對最大值或絕對最小值。