題目

Problem

(7) (10 pts) Find the radius of convergence and the interval of convergence of the power series

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n^2}x^n.

解答

對一般項取絕對值並用根值判別法：

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(-2)^n}{n^2}x^n\right|} =2|x|.

故當 $2|x|<1$ 時收斂，收斂半徑為

\boxed{R=\frac12}.

還要檢查兩個端點。當 $x=\frac12$ 或 $x=-\frac12$ 時，級數的絕對值皆為 $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ ，兩端都絕對收斂。因此收斂區間為

\boxed{\left[-\frac12,\frac12\right]}.