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108 學年度台綜大微積分 B 第 6 題

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108學年度 · 108台綜大微積分B · 第 6 題

題目

Problem

(6) (10 pts) Evaluate the improper integral

∫0∞xtan⁡−1x(1+x2)2 dx\int_{0}^{\infty} \frac{x\tan^{-1}x}{(1+x^2)^2}\,dx

if it exists. Here tan⁡−1x=arctan⁡x\tan^{-1}x=\arctan x.

解答

解法一

先把瑕積分寫成上限為 bb 的定積分，對其作分部積分。取

u=arctan⁡x,dv=x(1+x2)2 dx,u=\arctan x,\qquad \mathrm{d}v=\frac{x}{(1+x^2)^2}\,\mathrm{d}x,

則

du=11+x2 dx,qquadv=−12(1+x2).\mathrm{d}u=\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x,qquad v=-\frac{1}{2(1+x^2)}.

所以

∫0bxarctan⁡x(1+x2)2 dx= −arctan⁡x2(1+x2)∣0b+12∫0b1(1+x2)2 dx.\begin{align*} \int_0^b\frac{x\arctan x}{(1+x^2)^2}\,\mathrm{d}x =&\,\left.-\frac{\arctan x}{2(1+x^2)}\right|_0^b +\frac12\int_0^b\frac{1}{(1+x^2)^2}\,\mathrm{d}x. \end{align*}

令 b→∞b\to\infty 時邊界項趨近 00；又

∫0∞1(1+x2)2 dx=π4.\int_0^\infty\frac{1}{(1+x^2)^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}.

因此原瑕積分收斂，且其值為

π8.\boxed{\frac{\pi}{8}}.