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108 學年度台綜大微積分 B 第 4 題

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108學年度 · 108台綜大微積分B · 第 4 題

題目

Problem

(4) (10 pts) Find the minimum of the function

f(x)=∫1xett dtf(x)=\int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{e^t}{t}\,dt

on [1,∞)[1,\infty). Explain how you obtain the minimum and find the point where the minimum of ff occurs.

解答

解法一

積分上限含有 xx，用微積分基本定理和鏈鎖律：

f′(x)=exp⁡(x)x⋅12x=exp⁡(x)2x.f'(x)=\frac{\exp(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\exp(\sqrt{x})}{2x}.

在 [1,∞)[1,\infty) 上，f′(x)>0f'(x)>0，故 ff 單調遞增，最小值發生在左端點 x=1x=1：

f(1)=∫11exp⁡(t)t dt=0.f(1)=\int_1^1\frac{\exp(t)}{t}\,\mathrm{d}t=\boxed{0}.