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108 學年度台綜大微積分 B 第 2 題

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108學年度 · 108台綜大微積分B · 第 2 題

題目

Problem

(2) (10 pts) Water is pumped into a spherical balloon so that its volume increases at a rate 5cm3/s5\text{cm}^3/\text{s}. How fast is the radius of the ballon increasing when the diameter is 4cm4\text{cm}? Here the volume of a ball of radius rr is 43πr3\dfrac{4}{3}\pi r^3.

解答

解法一

體積和半徑都隨時間改變，先對球體體積公式對時間微分：

V=43πr3⟹dVdt=4πr2drdt.V=\frac43\pi r^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=4\pi r^2\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}.

直徑為 4 cm4\text{ cm} 時，r=2r=2；又題給 dVdt=5\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=5，故

\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} =&\,\frac{5}{4\pi(2)^2} =\boxed{\frac{5}{16\pi}\text{ cm/s}}.