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108 學年度台綜大微積分 A 第 9 題

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108學年度 · 108台綜大微積分A · 第 9 題

題目

9. (10 points) Find (a,b)(a,b) with −12≤b≤12-\dfrac{1}{2} \le b \le \dfrac{1}{2} so that

  • The point P=(1,a,b)P=(1,a,b) is on the surface EE defined by
x2−y4+sin⁡(2z)4=0\frac{x}{2}-\frac{y}{4}+\frac{\sin(2z)}{4}=0
  • The tangent plane to EE at PP contains lines
l1(t)=P+t(12,1,0)l_1(t)=P+t\left(\frac{1}{2},1,0\right) l2(t)=P+t(0,2,1)l_2(t)=P+t(0,2,1)

解答

解法一

切平面包含兩條方向向量 (12,1,0)\left(\frac12,1,0\right)、(0,2,1)(0,2,1)，其法向量可取 (1,−12,1)(1,-\frac12,1)。

曲面梯度為

∇F=(12,−14,12cos⁡(2z)).\nabla F=\left(\frac12,-\frac14,\frac12\cos(2z)\right).

平行條件給 cos⁡(2b)=1\cos(2b)=1；由 −12≤b≤12-\frac12\le b\le\frac12 得 b=0b=0。再代曲面方程，12−a4=0\frac12-\frac a4=0，故

(a,b)=(2,0).\boxed{(a,b)=(2,0)}.