題目 8. (10 points) Given function T(x,y)=1+x2−y2T(x,y)=1+x^2-y^2T(x,y)=1+x2−y2, find the curve γ(t)=(x(t),y(t))\gamma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)γ(t)=(x(t),y(t)) so that γ(0)=(1,4)\gamma(0)=(1,4)γ(0)=(1,4) and γ′(t)=−∇T(γ(t))\gamma'(t)=-\nabla T(\gamma(t))γ′(t)=−∇T(γ(t)). 解答 解法一 γ′(t)=−∇T(γ(t))=(−2x(t),2y(t)).\gamma'(t)=-\nabla T(\gamma(t))=(-2x(t),2y(t)).γ′(t)=−∇T(γ(t))=(−2x(t),2y(t)). 配合 x(0)=1, y(0)=4x(0)=1,\ y(0)=4x(0)=1, y(0)=4，得 γ(t)=(e−2t,4e2t).\boxed{\gamma(t)=\left(e^{-2t},4e^{2t}\right)}.γ(t)=(e−2t,4e2t).
