108 學年度台綜大微積分 A 第 3 題

題目

3. (10 points) Given

f(t)= \begin{cases} 1, & t\le 0 \\ 1-t, & t>0 \end{cases}

and

F(x)=\int_{-1}^{2ax+2} f(t)\,dt

with $a>0$ , find $a$ so that $F$ is maximum at $x=-2a$ .

F'(x)=2a\,f(2ax+2).

由 $a>0$ ，上限隨 $x$ 遞增； $f(t)$ 在 $t=1$ 變號，故最大值發生在

2a(-2a)+2=1.

因此 $4a^2=1$ ，且 $a>0$ ，所以 $\boxed{a=\frac12}$ 。