題目 6. (10%) Use ∑n=1∞1n2=π26\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}∑n=1∞n21=6π2 to evaluate the integral ∫01ln(1+x)x dx.\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}\,dx.∫01xln(1+x)dx. 解答 解法一 在 ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1， ln(1+x)x=∑n=1∞(−1)n+1nxn−1.\frac{\ln(1+x)}x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}n x^{n-1}.xln(1+x)=n=1∑∞n(−1)n+1xn−1. 逐項積分得 ∫01ln(1+x)x dx=∑n=1∞(−1)n+1n2=π212.\int_0^1\frac{\ln(1+x)}x\,\mathrm{d}x =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} =\boxed{\frac{\pi^2}{12}}.∫01xln(1+x)dx=n=1∑∞n2(−1)n+1=12π2.
