題目 5. (10%) Evaluate the integral. ∫dx(x2+2)5/2\int \frac{dx}{(x^2+2)^{5/2}}∫(x2+2)5/2dx Hint: sin3θ=3sinθ−4sin3θ, cos3θ=4cos3θ−3cosθ\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta,\ \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\thetasin3θ=3sinθ−4sin3θ, cos3θ=4cos3θ−3cosθ. 解答 解法一 可直接驗算下式的導數： ∫dx(x2+2)5/2=x(x2+3)6(x2+2)3/2+C.\boxed{\int\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+2)^{5/2}} =\frac{x(x^2+3)}{6(x^2+2)^{3/2}}+C}.∫(x2+2)5/2dx=6(x2+2)3/2x(x2+3)+C.
