107 學年度台綜大微積分 B 第 10 題

題目

10. (10 points) Use Lagrange multiplier method to maximize the function

f(x,y,z)=2x+3y+5z

on the sphere

x^2+y^2+z^2=19.

Note: any other method receives no credit.

拉格朗日條件給出 $(2,3,5)=\lambda(2x,2y,2z)$ ，故最大點與 $(2,3,5)$ 同向。由球面條件得到

\boxed{(x,y,z)=\left(\sqrt2,\frac{3\sqrt2}{2},\frac{5\sqrt2}{2}\right)}, \qquad \boxed{f_{\max}=19\sqrt2}.