題目 Problem 5 (10%). Let J(x)J(x)J(x) be a function satisfying the differential equation xJ′′(x)+J′(x)+xJ(x)=0xJ''(x)+J'(x)+xJ(x)=0xJ′′(x)+J′(x)+xJ(x)=0 for all values of xxx and J(0)=1J(0)=1J(0)=1. Find J′′(0)J''(0)J′′(0). 解答 解法一 先對 xJ′′+J′+xJ=0xJ''+J'+xJ=0xJ′′+J′+xJ=0 微分： xJ′′′+2J′′+J+xJ′=0.xJ'''+2J''+J+xJ'=0.xJ′′′+2J′′+J+xJ′=0. 令 x=0x=0x=0 並用 J(0)=1J(0)=1J(0)=1，得到 J′′(0)=−12.\boxed{J''(0)=-\frac12}.J′′(0)=−21.
