106 學年度台綜大微積分 C 第 2 題

題目

Problem

2 (10%). Find all possible relative extrema and saddle points of the function

f(x,y)=2xy-\frac{1}{2}(x^4+y^4)+1.

聯立 $f_x=2y-2x^3=0$ 與 $f_y=2x-2y^3=0$ ，得臨界點

(0,0),\qquad(1,1),\qquad(-1,-1).

Hessian 在 $(1,1)$ 、 $(-1,-1)$ 均負定，故兩者皆為局部極大點，函數值為 $2$ ；在 $(0,0)$ 的 Hessian 行列式為負，故

\boxed{(1,1),(-1,-1)\text{ 為局部極大點；}(0,0)\text{ 為鞍點}}.