CalcGospel 微積分福音
返回

114 台大微積分 C 第 8 題

考題 / 轉學考微積分 / 台大 / 微積分C

114學年度 · 114微積分C · 第 8 題

題目

Problem

Find the average value of the function F(x,y,z)=x+y+zF(x,y,z)=x+y+z over the solid

E:x2+y2+z2≤1,x≥0,y≥0,z≥0.E: x^2+y^2+z^2\le 1,\quad x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad z\ge 0.

The formula for average value is

1Volume⁡(E)∭EF(x,y,z) dV.\frac{1}{\operatorname{Volume}(E)}\iiint_E F(x,y,z)\,\mathrm{d}V.

解答

解法一：對稱性搭配球座標

思路

展開
  1. 區域 EE 是半徑 11 的球在第一卦限的八分之一，所以體積可直接由球體積得到。
  2. 區域對 x,y,zx,y,z 三個座標完全對稱，因此 ∭Ex dV\iiint_E x\,\mathrm{d}V、∭Ey dV\iiint_E y\,\mathrm{d}V、∭Ez dV\iiint_E z\,\mathrm{d}V 相等。
  3. 只要用球座標計算其中一項，再乘以 33 並除以體積即可。

答題過程

展開

區域 EE 是單位球的第一卦限部分，因此

Volume⁡(E)= 18⋅43π= π6\begin{align*} \operatorname{Volume}(E) =&\, \frac18\cdot\frac43\pi =&\, \frac{\pi}{6} \end{align*}

又因 EE 對三個座標對稱，

∭E(x+y+z) dV= 3∭Ex dV\begin{align*} \iiint_E (x+y+z)\,\mathrm{d}V =&\, 3\iiint_E x\,\mathrm{d}V \end{align*}

取球座標 x=ρsin⁡ϕcos⁡θx=\rho\sin\phi\cos\theta，其中 0≤ρ≤10\le\rho\le1、0≤ϕ≤π20\le\phi\le\frac{\pi}{2}、0≤θ≤π20\le\theta\le\frac{\pi}{2}，且 dV=ρ2sin⁡ϕ dρ dϕ dθ\mathrm{d}V=\rho^2\sin\phi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}\theta。於是

∭E(x+y+z) dV= 3∫0π2∫0π2∫01ρ3sin⁡2ϕcos⁡θ dρ dϕ dθ= 3(∫01ρ3 dρ)(∫0π2sin⁡2ϕ dϕ)(∫0π2cos⁡θ dθ)= 3⋅14⋅π4⋅1= 3π16\begin{align*} \iiint_E (x+y+z)\,\mathrm{d}V =&\, 3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1 \rho^3\sin^2\phi\cos\theta\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, 3\left(\int_0^1\rho^3\,\mathrm{d}\rho\right) \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\phi\,\mathrm{d}\phi\right) \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta\right) \\[4mm] =&\, 3\cdot\frac14\cdot\frac{\pi}{4}\cdot1 =&\, \frac{3\pi}{16} \end{align*}

因此平均值為

1Volume⁡(E)∭EF(x,y,z) dV= 3π16π6= 98\begin{align*} \frac{1}{\operatorname{Volume}(E)}\iiint_E F(x,y,z)\,\mathrm{d}V =&\, \frac{\frac{3\pi}{16}}{\frac{\pi}{6}} =&\, \frac98 \end{align*}