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114 台大微積分 C 第 7 題

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114學年度 · 114微積分C · 第 7 題

題目

Problem

Consider the part of the surface x3yz2=2x^3yz^2 = 2 in the first octant (x>0,y>0,z>0x > 0, y > 0, z > 0).

(a) Use Lagrange multipliers to find the point on the surface x3yz2=2x^3yz^2 = 2 that is closest to the origin.

(b) Let f(x,y)=x2+y2+2x3yf(x,y) = x^2 + y^2 + \frac{2}{x^3y}. Find all critical points of ff (points with fx=fy=0f_x = f_y = 0). How is this related to part (a)?

(c) Find fxx,fxy,fyyf_{xx}, f_{xy}, f_{yy} and D=fxxfyy−[fxy]2D = f_{xx}f_{yy} - [f_{xy}]^2 at the critical point.

解答

(a)

解法一：Lagrange multipliers

思路

展開
  1. 離原點最近，等價於最小化距離平方 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2。
  2. 限制條件是 x3yz2=2x^3yz^2=2。
  3. 題目指定使用 Lagrange multipliers，因此設 ∇F=λ∇g\nabla F=\lambda\nabla g。

答題過程

展開

令

F(x,y,z)=x2+y2+z2,g(x,y,z)=x3yz2\begin{align*} F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, \qquad g(x,y,z)=x^3yz^2 \end{align*}

根據 Lagrange multipliers：

∇F=λ∇g\begin{align*} \nabla F=\lambda\nabla g \end{align*}

也就是

(2x,2y,2z)= λ(3x2yz2,x3z2,2x3yz)\begin{align*} (2x,2y,2z) =&\, \lambda(3x^2yz^2,x^3z^2,2x^3yz) \end{align*}

由於限制條件給出 x3yz2=2x^3yz^2=2，可將三個偏導改寫為

3x2yz2= 6xx3z2= 2y2x3yz= 4z\begin{align*} 3x^2yz^2=&\, \frac{6}{x} \\[4mm] x^3z^2=&\, \frac{2}{y} \\[4mm] 2x^3yz=&\, \frac{4}{z} \end{align*}

所以

2x= λ6x2y= λ2y2z= λ4z\begin{align*} 2x=&\, \lambda\frac{6}{x} \\[4mm] 2y=&\, \lambda\frac{2}{y} \\[4mm] 2z=&\, \lambda\frac{4}{z} \end{align*}

整理得

x2=3λ,y2=λ,z2=2λ\begin{align*} x^2=3\lambda,\qquad y^2=\lambda,\qquad z^2=2\lambda \end{align*}

因為 x,y,z>0x,y,z>0，所以

x=3 y,z=2 y\begin{align*} x=\sqrt{3}\,y,\qquad z=\sqrt{2}\,y \end{align*}

代回限制條件：

(3y)3⋅y⋅(2y)2= 263 y6= 2y= 3−1/4\begin{align*} (\sqrt{3}y)^3\cdot y\cdot(\sqrt{2}y)^2 =&\, 2 \\[4mm] 6\sqrt{3}\,y^6 =&\, 2 \\[4mm] y =&\, 3^{-1/4} \end{align*}

因此

x=31/4,z=2 3−1/4\begin{align*} x=3^{1/4},\qquad z=\sqrt{2}\,3^{-1/4} \end{align*}

這個候選點確實給出全域最小距離：由限制式可寫成 z2=2x3yz^2=\frac{2}{x^3y}，故距離平方是 x2+y2+2x3yx^2+y^2+\frac{2}{x^3y}。在第一卦限中，只要趨近邊界或任一變數趨於無窮，這個和都會趨於無窮；而上面的方程組只有一個正解。因此此正解就是全域最小點。

最近點為

(31/4, 3−1/4, 2 3−1/4)\begin{align*} \left(3^{1/4},\,3^{-1/4},\,\sqrt{2}\,3^{-1/4}\right) \end{align*}

解法二：消去限制式

思路

展開
  1. 由 x3yz2=2x^3yz^2=2 可解出 z2=2x3yz^2=\frac{2}{x^3y}。
  2. 距離平方就變成二變數函數 x2+y2+2x3yx^2+y^2+\frac{2}{x^3y}。
  3. 找這個二變數函數在第一象限的臨界點，即可得到同一個最近點。

答題過程

展開

由限制條件

z2=2x3y\begin{align*} z^2=\frac{2}{x^3y} \end{align*}

所以距離平方可寫成

f(x,y)=x2+y2+2x3y\begin{align*} f(x,y)=x^2+y^2+\frac{2}{x^3y} \end{align*}

這正是 (b) 小題的函數。由 (b) 的臨界點計算可得

x=31/4,y=3−1/4\begin{align*} x=3^{1/4},\qquad y=3^{-1/4} \end{align*}

再代回

z2= 2x3y=233/4⋅3−1/4=23\begin{align*} z^2 =&\, \frac{2}{x^3y} =\frac{2}{3^{3/4}\cdot 3^{-1/4}} =\frac{2}{\sqrt{3}} \end{align*}

因為 z>0z>0，所以

z=2 3−1/4\begin{align*} z=\sqrt{2}\,3^{-1/4} \end{align*}

因此最近點同樣為

(31/4, 3−1/4, 2 3−1/4)\begin{align*} \left(3^{1/4},\,3^{-1/4},\,\sqrt{2}\,3^{-1/4}\right) \end{align*}

(b)

解法一：直接解臨界點

思路

展開
  1. 對 f(x,y)f(x,y) 分別求 fxf_x 與 fyf_y。
  2. 解聯立方程 fx=0f_x=0、fy=0f_y=0。
  3. 這個函數就是把 (a) 的限制條件消去 zz 後得到的距離平方。

答題過程

展開

先求偏導：

fx= 2x−6x4yfy= 2y−2x3y2\begin{align*} f_x =&\, 2x-\frac{6}{x^4y} \\[4mm] f_y =&\, 2y-\frac{2}{x^3y^2} \end{align*}

令 fx=fy=0f_x=f_y=0：

x5y=3,x3y3=1\begin{align*} x^5y=3,\qquad x^3y^3=1 \end{align*}

由 x3y3=1x^3y^3=1 可得 xy=1xy=1，所以 y=1xy=\frac{1}{x}。代入 x5y=3x^5y=3：

x5⋅1x=3⇒x4=3\begin{align*} x^5\cdot\frac{1}{x}=3 \quad\Rightarrow\quad x^4=3 \end{align*}

因此，xx 與 yy 的正負號必須相同，故 ff 的所有臨界點為

(31/4,3−1/4),(−31/4,−3−1/4)\begin{align*} \left(3^{1/4},3^{-1/4}\right), \qquad \left(-3^{1/4},-3^{-1/4}\right) \end{align*}

它與 (a) 的關係是：由 x3yz2=2x^3yz^2=2 解出 z2=2x3yz^2=\frac{2}{x^3y} 後，距離平方 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 就變成題目給的 f(x,y)f(x,y)。其中正的臨界點符合 (a) 的第一象限限制，正是最近點投影到 xyxy 平面的座標；負的臨界點則不在 (a) 的可行範圍內。

(c)

解法一：直接計算二階偏導

思路

展開
  1. 先對 (b) 的 fxf_x、fyf_y 再微分。
  2. 兩個臨界點的 x4y2x^4y^2、x5yx^5y 與 x3y3x^3y^3 值相同，因此二階偏導的數值相同。
  3. 最後計算 D=fxxfyy−(fxy)2D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2。

答題過程

展開

二階偏導為

fxx= 2+24x5yfxy= 6x4y2fyy= 2+4x3y3\begin{align*} f_{xx} =&\, 2+\frac{24}{x^5y} \\[4mm] f_{xy} =&\, \frac{6}{x^4y^2} \\[4mm] f_{yy} =&\, 2+\frac{4}{x^3y^3} \end{align*}

在兩個臨界點，皆有

x5y=3,x3y3=1,x4y2=3\begin{align*} x^5y=3,\qquad x^3y^3=1,\qquad x^4y^2=\sqrt{3} \end{align*}

所以

fxx= 2+243=10fxy= 63=23fyy= 2+4=6\begin{align*} f_{xx} =&\, 2+\frac{24}{3}=10 \\[4mm] f_{xy} =&\, \frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \\[4mm] f_{yy} =&\, 2+4=6 \end{align*}

最後

D= fxxfyy−(fxy)2= 10⋅6−(23)2= 60−12= 48\begin{align*} D =&\, f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2 \\[4mm] =&\, 10\cdot 6-(2\sqrt{3})^2 \\[4mm] =&\, 60-12 \\[4mm] =&\, 48 \end{align*}