1. (a) 小題：求等值面的切面方程式，核心目標是找到該點的法向量（即梯度 $\nabla f$）。既然面上有兩條曲線，就表示這兩條曲線在該點的切向量會躺在切面上，與梯度垂直。我們可以用外積來定出方向，再透過題目給的 $f_y$ 條件定出真實長度。
2. (b) 小題：求方向導數。函數 $g$ 帶有絕對值且是分段定義，這意味著它在原點附近不一定平滑。這時千萬不要硬套 $D_u g = \nabla g \cdot u$ 的公式，必須回歸方向導數的最根本定義，用極限來正面迎擊！
3. (c) 小題：出現「限制條件下的極值」，直覺要聯想到拉格朗日乘子法 $\nabla f = \lambda \nabla h$。而求極值隨條件變動的估計值，正好切中拉格朗日乘數 $\lambda$ 的靈魂意義：它代表的就是「極值對條件變化量的敏感度」！

(a) 求切面方程式

兩條曲線都落在等值面 $f(x,y,z)=10$ 上，這意味著它們的切向量都會與該點的梯度 $\nabla f(0,1,2)$ 垂直。 先計算兩曲線的導向量：

當曲線通過 $(0,1,2)$ 時，對應 $t=0$，那麼：

同理計算第二條曲線：

當曲線通過 $(0,1,2)$ 時，對應 $t=1$，那麼：

將這兩個切向量作外積，找出法向量的方向：

所以 $\nabla f(0,1,2)$ 必定平行於 $(-4, 6, 4)$，我們可以設它為 $c(-4, 6, 4) = (-4c, 6c, 4c)$。 再配合題目給定的條件 $f_y(0,1,2) = \frac{3}{2}$，即可解出：

因此，梯度向量為 $\nabla f(0,1,2) = \left(-1, \frac{3}{2}, 1\right)$。

利用點斜式即可寫出切面方程式：

同乘 $2$ 並整理後得：

(b) 求方向導數

先將方向向量 $u$ 單位化：

當我們沿著方向 $u$ 移動微小距離 $h$ 時，座標變化為：

把這個座標代入 $g(x,y,z)$ 中。注意到分子的 $\sin$ 是奇函數可以提負號，且 $|h|$ 剛好可以全部合併約掉：

接著回到方向導數的最基本定義，直接計算極限：

(c) 估計極值變化

拉格朗日乘子法告訴我們，在極值發生處有 $\nabla f = \lambda \nabla h$。 將已知點 $(0,1,2)$ 的數值代入：

比較第一分量（$x$ 分量），馬上就能推得：

接著，當我們在限制曲面附近移動微小量 $\Delta r = (x, y-1, z-2)$ 時，目標函數的變化量可以用梯度來做線性近似：

這個推導印證了一個極其重要的觀念：拉格朗日乘子 $\lambda$ 其實就是「極值對條件變化量的敏感度」。 現在新的條件曲面是 $h(x,y,z) = 0.9$，相較於原條件 $h=1$，變化量為 $\Delta h = 0.9 - 1 = -0.1$。

所以最大值的估計為：