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114 台大微積分 B 第 4 題

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114學年度 · 114微積分B · 第 4 題

題目

Problem

∫024−xx dx=(7)‾.\displaystyle\int_0^2 \sqrt{\frac{4-x}{x}} \,\mathrm{d}x = \underline{\quad(7)\quad}.

解答

解法一

思路

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  1. 看到根號裡面有分數，且分子和分母都是一次式，最傳統且穩定的作法就是利用「三角代換」把根號消滅。
  2. 觀察式子 4−xx\sqrt{\frac{4-x}{x}}，如果我們令 x=4sin⁡2θx = 4\sin^2\theta，那麼分子 4−x4-x 就會變成 4−4sin⁡2θ=4cos⁡2θ4-4\sin^2\theta = 4\cos^2\theta。
  3. 這樣一來，分母的 sin⁡2θ\sin^2\theta 和分子的 cos⁡2θ\cos^2\theta 都能完美開根號出來，後續只要搭配半角公式降次，就能輕鬆搞定定積分。

答題過程

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我們先進行三角代換。令 x=4sin⁡2θx = 4\sin^2\theta，那麼：

dx= 8sin⁡θcos⁡θ dθ\begin{align*} \mathrm{d}x =&\, 8\sin\theta\cos\theta \, \mathrm{d}\theta \end{align*}

接著調整積分上下限： 當 x→0+x \to 0^+ 時，sin⁡2θ=0\sin^2\theta = 0，取 θ=0\theta = 0。 當 x=2x = 2 時，4sin⁡2θ=2  ⟹  sin⁡2θ=124\sin^2\theta = 2 \implies \sin^2\theta = \frac{1}{2}，取 θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}。

將這些替換進原本的積分式：

 ∫024−xxdx= ∫0π44−4sin⁡2θ4sin⁡2θ⋅8sin⁡θcos⁡θ dθ第一象限= ∫0π44cos⁡2θ4sin⁡2θ⋅8sin⁡θcos⁡θ dθ開根號取正= ∫0π4cos⁡θsin⁡θ⋅8sin⁡θcos⁡θ dθ= ∫0π48cos⁡2θ dθ\begin{align*} &\,\int_0^2 \sqrt{\frac{4-x}{x}} \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\frac{4 - 4\sin^2\theta}{4\sin^2\theta}} \cdot 8\sin\theta\cos\theta \, \mathrm{d}\theta \\[4mm] \quad \colorbox{aqua}{第一象限}\quad =&\, \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\frac{4\cos^2\theta}{4\sin^2\theta}} \cdot 8\sin\theta\cos\theta \, \mathrm{d}\theta \\[4mm] \quad \colorbox{aqua}{開根號取正}\quad =&\, \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot 8\sin\theta\cos\theta \, \mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8\cos^2\theta \, \mathrm{d}\theta \end{align*}

遇到 cos⁡2θ\cos^2\theta，毫不猶豫地使用半角公式 cos⁡2θ=1+cos⁡(2θ)2\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2} 來降次：

= ∫0π48(1+cos⁡(2θ)2)dθ= 4∫0π4(1+cos⁡(2θ))dθ= 4[θ+12sin⁡(2θ)]0π4= 4[(π4+12sin⁡π2)−(0+0)]= 4(π4+12)= π+2\begin{align*} =&\, \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \left( \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \right) \mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, 4 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \big( 1 + \cos(2\theta) \big) \mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, 4 \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\[4mm] =&\, 4 \left[ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} \right) - (0 + 0) \right] \\[4mm] =&\, 4 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) \\[4mm] =&\, \pi + 2 \end{align*}

解法二

思路

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  1. 面對這坨醜陋的根號，除了三角代換，我們還可以直接來一招「眼不見為淨」的代數代換：直接令整坨根號 t=4−xxt = \sqrt{\frac{4-x}{x}}，也就是 t2=4−xxt^2 = \frac{4-x}{x}。
  2. 這種代換法雖然會把原本的定積分變成積分下限為無窮大的「瑕積分」，但好處是完全避開了初期的三角函數運算。
  3. 代換完成後，被積分函數會呈現 t⋅−8t(t2+1)2t \cdot \frac{-8t}{(t^2+1)^2} 的形式。這時不必急著乘開，因為只要變數代換積分夠熟練，就能一眼看出這是標準的「好求導 ×\times 好積分」組合，直接使出分部積分即可俐落解出。

答題過程

展開

令 t=4−xxt = \sqrt{\frac{4-x}{x}}，兩邊平方得到 t2=4−xx=4x−1t^2 = \frac{4-x}{x} = \frac{4}{x} - 1。 我們將 xx 整理出來：

x= 4t2+1\begin{align*} x =&\, \frac{4}{t^2+1} \end{align*}

那麼：

dx= −8t(t2+1)2 dt\begin{align*} \mathrm{d}x =&\, \frac{-8t}{(t^2+1)^2} \, \mathrm{d}t \end{align*}

接著調整積分上下限： 當 x→0+x \to 0^+ 時，分母極小，所以 t→∞t \to \infty。 當 x=2x = 2 時，t=4−22=1t = \sqrt{\frac{4-2}{2}} = 1。

將所有變數替換進原積分，注意這會形成一個瑕積分：

 ∫024−xxdx= lim⁡b→∞∫b1t⋅−8t(t2+1)2 dt\begin{align*} &\,\int_0^2 \sqrt{\frac{4-x}{x}} \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \lim_{b \to \infty} \int_b^1 t \cdot \frac{-8t}{(t^2+1)^2} \, \mathrm{d}t \end{align*}

此時不要急著把它乘起來！ 如果你的變數代換積分足夠熟練，應該能一眼看出右邊這個分式 −8t(t2+1)2\frac{-8t}{(t^2+1)^2} 是可以直接積分的（反求導的結果為 4t2+1\frac{4}{t^2+1}）。 左邊保留一個好求導的 tt，右邊是一個好積分的分式，這完全就是為「分部積分」量身打造的。我們不需要在旁邊寫什麼 uu 和 dv\mathrm{d}v，直接大膽地對原式做分部積分：

 lim⁡b→∞∫b1t⋅−8t(t2+1)2 dt= lim⁡b→∞([t⋅4t2+1]b1−∫b11⋅4t2+1 dt)= lim⁡b→∞(412+1−4bb2+1) −lim⁡b→∞[4arctan⁡(t)]b1= lim⁡b→∞(2−4bb2+1) −lim⁡b→∞(4arctan⁡(1)−4arctan⁡(b))\begin{align*} &\,\lim_{b \to \infty} \int_b^1 t \cdot \frac{-8t}{(t^2+1)^2} \, \mathrm{d}t \\[4mm] =&\, \lim_{b \to \infty} \left( \left[ t \cdot \frac{4}{t^2+1} \right]_b^1 - \int_b^1 1 \cdot \frac{4}{t^2+1} \, \mathrm{d}t \right) \\[4mm] =&\, \lim_{b \to \infty} \left( \frac{4}{1^2+1} - \frac{4b}{b^2+1} \right) \\[4mm] &\,\hspace{2pt} - \lim_{b \to \infty} \Big[ 4\arctan(t) \Big]_b^1 \\[4mm] =&\, \lim_{b \to \infty} \left( 2 - \frac{4b}{b^2+1} \right) \\[4mm] &\,\hspace{2pt}- \lim_{b \to \infty} \Big( 4\arctan(1) - 4\arctan(b) \Big) \end{align*}

當 b→∞b \to \infty 時，4bb2+1\frac{4b}{b^2+1} 的分母次方大於分子次方，所以極限為 00；而 arctan⁡(b)\arctan(b) 會趨近於 π2\frac{\pi}{2}：

= (2−0)−(4⋅π4−4⋅π2)= 2−(π−2π)= π+2\begin{align*} =&\, (2 - 0) - \left( 4 \cdot \frac{\pi}{4} - 4 \cdot \frac{\pi}{2} \right) \\[4mm] =&\, 2 - (\pi - 2\pi) \\[4mm] =&\, \pi + 2 \end{align*}
經驗總結

含有 a−xx\sqrt{\frac{a-x}{x}} 或 a+xx\sqrt{\frac{a+x}{x}} 形式的積分，三角代換通常是最正統且安穩的路線；但直接令 t2=a−xxt^2 = \frac{a-x}{x} 轉成有理函數的瑕積分，只要具備敏銳的積分直覺，直接分部積分「左求導、右積分」，也能在不翻弄三角公式的情況下漂亮收尾！